Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（3）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1），

所以f′（x）=axlna+2x﹣lna，f′（0）=0，

又因?yàn)閒（0）=1，所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1

（2）解：由（1），f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．

當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，（ax﹣1）lna在R上遞增；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，（ax﹣1）lna在R上遞增；

故當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，總有f′（x）在R上是增函數(shù)，

又f′（0）=0，所以不等式f′（x）＞0的解集為（0，+∞），

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），遞減區(qū)間為 （﹣∞，0）

（3）解：因?yàn)榇嬖趚1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，

而當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，

所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1即可．

又因?yàn)閤，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：

x	（﹣∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

可得f（x）在[﹣1，0]上是減函數(shù)，在[0，1]上是增函數(shù)，

所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，

f（x）的最大值f（x）max為f（﹣1）和f（1）中的最大值．

因?yàn)? ，

令 ，因?yàn)? ，

所以 在a∈（0，1）、（1，+∞）上是增函數(shù)．

而g（1）=0，故當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）．

所以，當(dāng)a＞1時(shí)，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，

函數(shù)y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函數(shù)，解得a≥e；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即 ，

函數(shù) 在a∈（0，1）上是減函數(shù)，解得 ．

綜上可知，所求a的取值范圍為

【解析】（1）先求f′（x），再計(jì)算f′（0），和f（0），即可得到切線方程；（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，并且f′（0）=0，判斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到單調(diào)區(qū)間；（3）將存在性問題轉(zhuǎn)化為|f（x1）﹣f（x2）|max≥e﹣1，即f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，根據(jù)上一問的單調(diào)性得到最小值f（0），再計(jì)算端點(diǎn)值f（﹣1）和f（1）比較大小．因?yàn)? ，再令令 ，求其導(dǎo)數(shù)，分情況比較大小，計(jì)算a的取值范圍．