已知拋物線y2=2x，
（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
2
3
，0)，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；
（2）在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到直線x-y+3=0的距離最短，并求出距離的最小值．
（1）設(shè)拋物線上y2=2x上的點(diǎn)P（m，n）（m≥0），
則|PA|2=(m-
2
3
)2+n2=m2-
4
3
m+
4
9
+2m=m2+
2
3
m+
4
9
=(m+
1
3
)2+
1
3
，
∵m≥0，
∴當(dāng)m=0時(shí)，|PA|2達(dá)到最小值
4
9
，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，0）時(shí)，|PA|min=
2
3
；
（2）設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點(diǎn)，那么y2=2x，
則點(diǎn)P到直線的距離d=
|x-y+3|
2
=
|
y2
2
-y+3|
2
=
|(y-1)2+5|
2
2
=
2
4
[（y-1）2+5]≥
5
2
4
，當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)，取“=”．
此時(shí)點(diǎn)P（
1
2
，1）．
即拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（
1
2
，1）時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y+3=0的距離最短，最小值為
5
2
4
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的P（-3，m）到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）
A．y2=4xB．y2=8xC．y2=-4xD．y2=-8x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

下列命題中，正確的個(gè)數(shù)有（　　）
（1）拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程為y=-
1
8
；
（2）雙曲線
x2
4
-y2=1的漸近線方程為y=±2x；
（3）橢圓
x2
4
+y2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2；
（4）雙曲線
x2
9
-
y2
7
=1的離心率與橢圓
x2
16
+
y2
7
=1的離心率之積為1．
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線y2=8x上，定點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為（　�。�
A．5B．6C．7D．8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線y=x2上有一定點(diǎn)A（-1，1）和兩動(dòng)點(diǎn)P、Q，當(dāng)PA⊥PQ時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)取值范圍是（　�。�
A．（-∞，-3]B．[1，+∞）C．[-3，1]D．（-∞，-3]∪[1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
6
+
y2
2
=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=2px的焦點(diǎn)重合，則p的值為（　�。�
A．2B．-2C．4D．-4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸是短軸長(zhǎng)的3倍，且過(guò)P（3，2），求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線
x2
9
-
y2
3
=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于（　�。�
A．3
3
B．2
3
C．2D．
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上射影是M，點(diǎn)A（4，6），則|PA|+|PM|的最小值是______．

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同步練習(xí)冊(cè)答案