（2012•遼寧）如圖，已知橢圓C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b為常數(shù))，動圓C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．點A1，A2分別為C0的左右頂點，C1與C0相交于A，B，C，D四點．
（I）求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
（II）設動圓C2：x2+y2=
t
2
2
與C0相交于A'，B'，C'，D'四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：
t
2
1
+
t
2
2
為定值．
分析：（I）設出線A1A的方程、直線A2B的方程，求得交點滿足的方程，利用A在橢圓C0上，化簡即可得到M軛軌跡方程；
（II）根據(jù)矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，可得A，A′坐標之間的關系，利用A，A′均在橢圓上，即可證得
t
2
1
+
t
2
2
=a2+b2為定值．
解答：（I）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），
∵A1（-a，0），A2（a，0），則直線A1A的方程為y=
y1
x1+a
(x+a)①
直線A2B的方程為y=
-y1
x2-a
(x-a)②
由①×②可得：y2=
-y12
x12-a2
(x2-a2)③
∵A（x1，y1）在橢圓C0上，
∴
x12
a2
+
y12
b2
=1
∴y12=b2(1-
x12
a2
)
代入③可得：y2=
-b2(1-
x12
a2
)
x12-a2
(x2-a2)
∴
x2
a2
-
y2
b2
=1(x＜-a，y＜0)；
（II）證明：設A′（x3，y3），
∵矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴x12y12=x32y32
∵A，A′均在橢圓上，
∴b2x12(1-
x12
a2
)=b2x32(1-
x32
a2
)
∴x12-
x14
a2
=x32-
x34
a2

∴a2(x12- x32)= x14-x34
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴x12+x32=a2
∵y12=b2(1-
x12
a2
)，y32=b2(1-
x32
a2
)
∴y12+y32=b2
∴
t
2
1
+
t
2
2
=a2+b2為定值．
點評：本題考查軌跡方程，考查定值問題的證明，解題的關鍵是設出直線方程，求出交點的坐標，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•遼寧）如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，點M，N分別為A'B和B'C'的中點．
（I）證明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C為直二面角，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•遼寧）如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=
2
，AA′=1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱錐A′-MNC的體積．
（椎體體積公式V=
1
3
Sh，其中S為地面面積，h為高）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•遼寧）如圖，動圓C1：x2+y2=
t
2
 
，1＜t＜3與橢圓C2：
x2
9
+y2=1相交于A，B，C，D四點，點A1，A2分別為C2的左，右頂點．
（Ⅰ）當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積；
（Ⅱ）求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

 [2012·遼寧卷] 如圖1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．

(1)證明：MN∥平面A′ACC′；

(2)求三棱錐A′－MNC的體積．

(錐體體積公式V＝Sh，其中S為底面面積，h為高)

圖1－5

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