(2012•遼寧)如圖,動圓C1x2+y2=
t
2
 
,1<t<3與橢圓C2
x2
9
+y2=1
相交于A,B,C,D四點(diǎn),點(diǎn)A1,A2分別為C2的左,右頂點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)t為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積;
(Ⅱ)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)A(x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0||y0|,由
x02
9
+y02=1
y02=1-
x02
9
,從而x02y02=x02( 1-
x02
9
)
,由此可求矩形ABCD的面積的最大值;
(Ⅱ)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0),確定直線AA1的方程,直線A2B方程,利用y02=1-
x02
9
,即可求得直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)A(x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0||y0|
x02
9
+y02=1
y02=1-
x02
9
,從而x02y02=x02( 1-
x02
9
)
=-
1
9
(x02-
9
2
)2+
9
4

x02=
9
2
y02=
1
2
時,Smax=6
∴t=
5
時,矩形ABCD的面積取得最大值,最大面積為6;
(Ⅱ)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0),知直線AA1的方程為y=
y0
x0+3
(x+3)

直線A2B方程為y=
-y0
x0-3
(x-3)

由①②可得:y2=
-y02
x02-9
(x2-9)

y02=1-
x02
9

∴④代入③可得
x2
9
-y2=1
(x<-3,y<0)
∴直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程
x2
9
-y2=1
(x<-3,y<0).
點(diǎn)評:本題主要考查直線、圓、橢圓的方程,橢圓的幾何性質(zhì),軌跡方程的求法,考查函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,難度較大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•遼寧)如圖,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',點(diǎn)M,N分別為A'B和B'C'的中點(diǎn).
(I)證明:MN∥平面A'ACC';
(II)若二面角A'-MN-C為直二面角,求λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•遼寧)如圖,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=
2
,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:MN∥平面A′ACC′;
(Ⅱ)求三棱錐A′-MNC的體積.
(椎體體積公式V=
1
3
Sh,其中S為地面面積,h為高)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•遼寧)如圖,已知橢圓C0
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,a,b為常數(shù))
,動圓C1x2+y2=
t
2
1
,b<t1<a
.點(diǎn)A1,A2分別為C0的左右頂點(diǎn),C1與C0相交于A,B,C,D四點(diǎn).
(I)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程;
(II)設(shè)動圓C2x2+y2=
t
2
2
與C0相交于A',B',C',D'四點(diǎn),其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等,證明:
t
2
1
+
t
2
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

 [2012·遼寧卷] 如圖1-5,直三棱柱ABCABC′,∠BAC=90°,ABAC,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為ABBC′的中點(diǎn).

(1)證明:MN∥平面AACC′;

(2)求三棱錐A′-MNC的體積.

(錐體體積公式VSh,其中S為底面面積,h為高)

圖1-5

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