(2012•遼寧)如圖,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',點M,N分別為A'B和B'C'的中點.
(I)證明:MN∥平面A'ACC';
(II)若二面角A'-MN-C為直二面角,求λ的值.
分析:(I)法一,連接AB′、AC′,說明三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱,推出MN∥AC′,然后證明MN∥平面A′ACC′;
法二,取A′B′的中點P,連接MP、NP,推出MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,然后通過平面與平面平行證MN∥平面A′ACC′.
(II)以A為坐標原點,分別以直線AB、AC、AA′為x,y,z軸,建立直角坐標系,設(shè)AA′=1,推出A,B,C,A′,B′,C′坐標求出M,N,設(shè)
m
=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,通過
m
A′M
=0
m
MN
=0
,取
m
=(1,-1,λ)
,設(shè)
n
=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,由
n
NC
=0
n
MN
=0
,取
n
=(-3,-1,λ)
,利用二面角A'-MN-C為直二面角,所以
m
n
=0
,解λ.
解答:(I)證明:連接AB′、AC′,
由已知∠BAC=90°,AB=AC,
三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱,
所以M為AB′中點,
又因為N為B′C′的中點,
所以MN∥AC′,
又MN?平面A′ACC′,
因此MN∥平面A′ACC′;
法二:取A′B′的中點P,連接MP、NP,
M、N分別為A′B、B′C′的中點,
所以MP∥AA′,NP∥A′C′,
所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,
又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′,
而MN?平面MPN,
因此MN∥平面A′ACC′.
(II)以A為坐標原點,分別以直線AB、AC、AA′為x,y,z軸,建立直角坐標系,如圖,
設(shè)AA′=1,則AB=AC=1,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).
所以M(
λ
2
,0,
1
2
),N(
λ
2
,
λ
2
,1
),
設(shè)
m
=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,
m
A′M
=0
m
MN
=0
,得
λ
2
x1-
1
2
z1=0
λ
2
y1+
1
2
z1=0

可取
m
=(1,-1,λ)
,
設(shè)
n
=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,
n
NC
=0
n
MN
=0
,得
-
λ
2
x2+
1
2
y2-z2=0
λ
2
y2+
1
2
z2=0

可取
n
=(-3,-1,λ)

因為二面角A'-MN-C為直二面角,
所以
m
n
=0

即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,
解得λ=
2
點評:本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定,借助空間直角坐標系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•遼寧)如圖,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=
2
,AA′=1,點M,N分別為A′B和B′C′的中點.
(Ⅰ)證明:MN∥平面A′ACC′;
(Ⅱ)求三棱錐A′-MNC的體積.
(椎體體積公式V=
1
3
Sh,其中S為地面面積,h為高)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•遼寧)如圖,已知橢圓C0
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,a,b為常數(shù))
,動圓C1x2+y2=
t
2
1
,b<t1<a
.點A1,A2分別為C0的左右頂點,C1與C0相交于A,B,C,D四點.
(I)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程;
(II)設(shè)動圓C2x2+y2=
t
2
2
與C0相交于A',B',C',D'四點,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等,證明:
t
2
1
+
t
2
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•遼寧)如圖,動圓C1x2+y2=
t
2
 
,1<t<3與橢圓C2
x2
9
+y2=1
相交于A,B,C,D四點,點A1,A2分別為C2的左,右頂點.
(Ⅰ)當t為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積;
(Ⅱ)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

 [2012·遼寧卷] 如圖1-5,直三棱柱ABCABC′,∠BAC=90°,ABAC,AA′=1,點M,N分別為ABBC′的中點.

(1)證明:MN∥平面AACC′;

(2)求三棱錐A′-MNC的體積.

(錐體體積公式VSh,其中S為底面面積,h為高)

圖1-5

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