Question

已知方程x²+y²+4x-2y-4=0，則x²+y²的最大值是

14+6

5

．

Answer 1

分析：把已知的方程配方后，得到此方程表示以B為圓心，3為半徑的圓，在平面直角坐標(biāo)系中畫出此圓，所求式子即為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，即要求出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離，故連接OB并延長(zhǎng)，與圓B交于A點(diǎn)，此時(shí)A到原點(diǎn)的距離最大，|AB|為圓B的半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|OB|的長(zhǎng)，根據(jù)|AB|+|OB|=|AO|求出|AO|的平方，即為所求式子的最大值．

解答：解：方程x²+y²+4x-2y-4=0變形得：
（x+2）²+（y-1）²=9，
表示圓心B（-2，1），半徑為3的圓，
畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

連接OB并延長(zhǎng)，與圓B交于A點(diǎn)，此時(shí)x²+y²的最大值為|AO|²，
又|AO|=|AB|+|BO|=3+

(-2)2+12

=3+

5

，
則|AO|²=（3+

5

）²=14+6

5

，即x²+y²的最大值為14+6

5

．
故答案為：14+6

5

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及兩點(diǎn)間的距離公式，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，其中找出適當(dāng)?shù)腁點(diǎn)，根據(jù)題意得出所求式子的最大值為|AO|²是解本題的關(guān)鍵．