Question

已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一個圓．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）求該圓半徑r的取值范圍；
（3）求圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用方程表示圓的條件D²+E²-4F＞0，建立不等式，即可求出實數(shù)m的取值范圍；
（2）利用圓的半徑r=

1

2

4(-7m2+6m+1)

，利用配方法結(jié)合（1）中實數(shù)m的取值范圍，即可求出該圓半徑r的取值范圍；
（3）根據(jù)x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0，確定圓的圓心坐標(biāo)，再消去參數(shù)，根據(jù)（1）中實數(shù)m的取值范圍，可求得圓心的軌跡方程．

解答：解：（1）∵方程表示圓，
∴D²+E²-4F=4（m+3）²+4（1-4m²）²-4（16m⁴+9）=4（-7m²+6m+1）＞0，
∴-7m²+6m+1＞0
∴-

1

7

＜m＜1．（5分）
（2）r=

1

2

4(-7m2+6m+1)

=

-7(m- 3 7 )2+ 16 7

∵-

1

7

＜m＜1
∴0＜r≤

4 7

7

．（5分）
（3）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），則

x=m+3① y=4m2-1②

，
由①得m=x-3，代入②消去m得，y=4（x-3）²-1．
∵-

1

7

＜m＜1，∴

20

7

＜x＜4，即軌跡為拋物線的一段，
∴圓心的軌跡方程為y=4（x-3）²-1（

20

7

＜x＜4）．（5分）

點評：本題考查圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查解不等式，配方法求函數(shù)的最值，考查軌跡問題，解題時確定圓的圓心與半徑是關(guān)鍵．