Question

已知方程x²+y²-2mx-4y+5m=0的曲線是圓C
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=-2時(shí)，求圓C截直線l：2x-y+1=0所得弦長；
（3）若圓C與直線2x-y+1=0相交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求m的值?

Answer 1

分析：（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用右側(cè)大于0，即可求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=-2時(shí)，通過弦心距，半徑，半弦長滿足勾股定理，求圓C截直線l：2x-y+1=0所得弦長；
（ 3）若圓C與直線2x-y+1=0相交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，得到

OM

•

ON

=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），推出x₁x₂+y₁y₂=0，聯(lián)立

x2+y2-2mx-4y+5m=0 2x-y+1=0

，推出x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，求m的值?

解答：解（1）方程x²+y²-2mx-4y+5m=0化為：（x-m）²+（y-2）²=m²-5m+4m²-5m+4
方程表示圓的方程，所以m²-5m+4m²-5m+4＞0  
解得：m＜1或m＞4；
（2）設(shè)m=-2，圓心為C（-2，2），半徑R=3

2

，
圓心到直線的距離為d=

|-4-2+1|

5

=

5

，
圓C截直線l：2x-y+1=0所得弦長為：2

R2-d2

=2

18=5

=2

13

；
（3）以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
即OM⊥ON
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0
由

x2+y2-2mx-4y+5m=0 2x-y+1=0

整理得 5x²-（2m+4）x+5m-3=0，

x1+x2= 2 5 (m+2) x1x2= 1 5 (5m-3)

，
x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，
5m-3+

4

5

(m+2)+1=0m=

2

29

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)△=（2m+4）²-20（5m-3）＞0
∴m=

2

29

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置故選，圓的方程的判斷，考查函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化思想．設(shè)而不求的解題方法，考查計(jì)算能力．