Question

設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）恒不等于1，對(duì)任意x∈[0，1]都有0＜f（x）＜1，則方程f（x）=x在開區(qū)間（0，1）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題可構(gòu)造新函數(shù)，利用根的存在性定理，判斷出原方程在區(qū)間上有實(shí)根，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的情況，得到方程的根唯一，得出本題結(jié)論．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x）-x，
∵對(duì)任意x∈[0，1]都有0＜f（x）＜1，
∴g（0）=f（0）-0＞0，g（1）=f（1）-1＜0，
∴g（x）=0在區(qū)間（0，1）上有根．
∵在開區(qū)間（0，1）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）恒不等于1，
∴g′（x）=f′（x）-1≠0，x∈（0，1）．
∴g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)無極值點(diǎn)．
∴g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的根唯一存在．
即：方程f（x）=x在開區(qū)間（0，1）內(nèi)實(shí)根唯一．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性定理和唯一性判斷，難點(diǎn)在于構(gòu)造新函數(shù)，思維上有一定的難度，屬于中檔題．