Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{（x-1）^{2}}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1
（3）若存在x₀＞1，當(dāng)x∈（1，x₀）時，恒有f（x）＞k（x-1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-（x-1），求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而證出結(jié)論即可；
（3）通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意求出k的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{-x}^{2}+x+1}{x}$，x∈（0，+∞），
由f′（x）＞0，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{-x}^{2}+x+1＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）；
（2）證明：設(shè)g（x）=f（x）-（x-1），x∈（1，+∞），則g′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{2}$，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＞1時，g（x）＜g（1）=0，
即當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1；
（3）①當(dāng)k=1時，由（2）知，當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1，
此時不存在x₀＞1，不滿足題意；
②當(dāng)k＞1時，x＞1，f（x）＜x-1＜k（x-1），
此時不存在x₀＞1，不滿足題意；
③當(dāng)k＜1時，設(shè)h（x）=f（x）-k（x-1），x＞1，
則h′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（1-k）x+1}{x}$，
令h′（x）=0，即-x²+（1-k）x+1=0，
得x₁=$\frac{1-k-\sqrt{{（1-k）}^{2}+4}}{2}$＜0，x₂=$\frac{1-k+\sqrt{{（1-k）}^{2}+4}}{2}$＞1，
所以當(dāng)x∈（1，x₂）時，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，x₂）上單調(diào)遞增，
取x₀=x₂，所以當(dāng)x∈（1，x₀）時，h（x）＞h（1）=0，f（x）＞k（x-1），
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的由于以及分類討論思想，是一道中檔題．