【題目】已知恒等式(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n .
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值;
(2)當(dāng)n≥6時(shí),求證: a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n<49n﹣2 .
【答案】
(1)解:令x=0,則a0=1.
令x=1,則a0+a1+a2+…+a2n=3n,∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1.
∵(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n.
∴兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2)n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1.
令x=0,則n=a1,
由(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n.
令x=2,則 ×7n= + +a2+2a3+…+22n﹣2a2n.
∴a2+2a3+…+22n﹣2a2n= ﹣ ﹣
(2)證明:∵(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n.
∴兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2)n﹣1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1,
再一次求導(dǎo)可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2)n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n﹣2,
=k(k﹣1),
令x=2可得: a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n﹣2,
n≥6時(shí),n[25(n﹣1)+2]<7n﹣2,
∴ a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n﹣2<49n﹣2.
【解析】(1)令x=0,則a0=1.令x=1,a0+a1+a2+…+a2n=3n , 可得a1+a2+…+a2n . 由(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2)n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 . 令x=0,可得n=a1 , 由(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 令x=2,可得 ×7n= + +a2+2a3+…+22n﹣2a2n . 即可得出.(2)(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 由(1)可得:n(1+x+x2)n﹣1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 , 兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2)n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n﹣2 , 令x=2可得: a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n﹣2 , n≥6時(shí),n[25(n﹣1)+2]<7n﹣2 , 即可證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=lg(ax2﹣x+ )的值域?yàn)镽;命題q:3x﹣9x<a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,如果命題“p且q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A( , ),B(3, ),且直線(xiàn)與曲線(xiàn)C:ρ=2rsinθ(r>0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)r的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: =1(a>1)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,P是橢圓C上任一點(diǎn),且點(diǎn)P位于第一象限.直線(xiàn)PA交y軸于點(diǎn)Q,直線(xiàn)PB交y軸于點(diǎn)R.當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,1)時(shí),點(diǎn)R坐標(biāo)為(0,2)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證: 為定值;
(3)求證:過(guò)點(diǎn)R且與直線(xiàn)QB垂直的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小學(xué)對(duì)一年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行“數(shù)學(xué)學(xué)前教育”對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”影響的試驗(yàn),其中甲班為試驗(yàn)班(實(shí)施了數(shù)學(xué)學(xué)前教育),乙班為對(duì)比班(和甲班一樣進(jìn)行常規(guī)教學(xué),但沒(méi)有實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)前教育),在期末測(cè)試后得到如下數(shù)據(jù):
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計(jì) | |
甲班 | 30 | 20 | 50 |
乙班 | 25 | 25 | 50 |
總計(jì) | 55 | 45 | 100 |
能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為進(jìn)行“數(shù)學(xué)學(xué)前教育”對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”有積極作用?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線(xiàn)l與動(dòng)圓圓心C的軌跡交于A,B兩點(diǎn),求證:是一個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x+y+=0相切.A,B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn),直線(xiàn)l過(guò)B點(diǎn)且與x軸垂直.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)G是橢圓C上異于A,B的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,延長(zhǎng)HG到點(diǎn)Q使得|HG|=|GQ|,連接AQ并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l于點(diǎn)M,N為線(xiàn)段MB的中點(diǎn),判斷直線(xiàn)QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 =1(a>b>0)的離心率為 ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作直線(xiàn)l,分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點(diǎn)P,Q.
(1)若直線(xiàn)l的斜率為 ,求 的值;
(2)若 =λ ,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,A,B兩點(diǎn)為噴泉,圓心O為AB的中點(diǎn),其中OA=OB=a米,半徑OC=10米,市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞.
(1)若當(dāng)∠OBC= 時(shí),sin∠BCO= ,求此時(shí)a的值;
(2)設(shè)y=CA2+CB2 , 且CA2+CB2≤232.
(i)試將y表示為a的函數(shù),并求出a的取值范圍;
(ii)若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞噴泉時(shí),觀賞角度∠ACB的最大值不小于 ,試求A,B兩處噴泉間距離的最小值.
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