【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,以坐標(biāo)原點O為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+=0相切.A,B分別是橢圓C的左、右頂點,直線l過B點且與x軸垂直.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)G是橢圓C上異于A,B的任意一點,過點G作GH⊥x軸于點H,延長HG到點Q使得|HG|=|GQ|,連接AQ并延長交直線l于點M,N為線段MB的中點,判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得，再由橢圓的離心率求解的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，則，可得和的方程，又由點在橢圓上，代入化簡得，又由原點到直線QN的距離，即可作差判斷.

(1)由題意可得b==1.

又∵橢圓C的離心率e==,a2=b2+c2,∴a2=4,

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

(2)設(shè)G(x0,y0),則Q(x0,2y0).

易知A(-2,0),B(2,0),可得直線AQ的方程為y=(x+2),

令x=2,可得M,∴N,

則直線QN的方程為y-2y0=(x-x0),

即2x0y0x-(-4)y-8y0=0①.

又∵點G在橢圓C上,

∴+=1,∴①式可化為x0x+2y0y-4=0,

∴原點(0,0)到直線QN的距離為=2.

又易知以AB為直徑的圓O的半徑為2,

故直線QN與以AB為直徑的圓O相切.

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣12x+b，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增
B.函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減
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D.若b=0，則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=10只有一個公共點

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C. 以原點為圓心，以2為半徑的圓和過原點的一條直線

D. 以原點為圓心，以2為半徑的圓，并且除去兩點(，)，(－，－)

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（1）求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值；
（2）當(dāng)n≥6時，求證： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n＜49n﹣2 ．

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【題目】已知斜率為k的直線l經(jīng)過點(-1,0),且與拋物線C:y2=2px(p>0,p為常數(shù))交于不同的兩點M,N.當(dāng)k=時,弦MN的長為.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過點M的直線交拋物線于另一點Q,且直線MQ經(jīng)過點B(1,-1),判斷直線NQ是否過定點?若過定點,求出該點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=xex﹣asinxcosx（a∈R，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（2）若對于任意的x∈[0， ]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有兩個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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【題目】為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,分別從兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取10件,測量產(chǎn)品中某種元素的含量(單位:毫克),其測量數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.

規(guī)定:當(dāng)產(chǎn)品中此種元素的含量大于18毫克時,認(rèn)定該產(chǎn)品為優(yōu)等品.

(1)試比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中該種元素含量的平均值的大小;

(2)從乙廠抽出的上述10件產(chǎn)品中隨機抽取3件,求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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