Question

（1）已知直線l過點P（3，4），它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，求直線l的方程．
（2）求與圓C：x²+y²-2x+4y+1=0同圓心，且與直線2x-y+1=0相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）分直線l過原點與不過原點兩種情況加以討論，分別求出直線的斜率和在軸上的截距，即可求得直線l的方程．
（2）由圓的標準方程，得所求圓的圓心坐標為C（1，-2），再由點到直線的距離算出C到直線2x-y+1=0的距離等于

5

，即得所求圓的半徑，從而求出所求圓的標準方程．

解答：解：（1）①當直線l過原點時，斜率k=

4

3

，
直線方程為y=

4

3

x．…（2分）
②當直線l不過原點時，設(shè)直線方程為

x

a

+

y

2a

=1
可得

3 a + 4 2a =1

，解之得a=5，
所以直線方程為2x+y=10
綜上所述，所求直線l方程為y=

4

3

x或2x+y=10．…（4分）
（2）∵圓C：

x2+y2-2x+4y+1=0，

∴化成標準形式得

(x-1)2+(y+2)2=4，

可得圓心為C（1，-2），
即所求圓的圓心坐標也是（1，-2），
又∵所求的圓與直線

2x-y+1=0

相切，
∴所求圓的半徑

r= |2+2+1| 4+1 = 5

由此可得：所求圓的方程為

(x-1)2+(y+2)2=5

．…（8分）

點評：本題求滿足條件的直線方程和圓方程．著重考查了直線的方程、圓的方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．