Question

一次研究性課堂上，老師給出函數(shù)，三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5944.png' />；
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③若規(guī)定對(duì)任意n∈N^*恒成立．
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的是________．

Answer 1

解：∵f（-x）==-f（x），∴f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，
f（x）=，∵x＞0，∴，∴1+，∴，又x＞0，∴0＜f（x）＜1，
又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以x＜0，-1＜f（x）＜0，所以∈x（-1，1），故命題①不正確．
設(shè)x₁＞x₂＞0，則 f（x₁）-f（x₂）===，
∵x₁＞x₂＞0∴，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（x）在
（-∞，+∞）上位增函數(shù)，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），故命題②正確．
由f₂（x）=f（f₁（x））==．
==．
．
所以f_n（x）=f（f_n-1（x）），所以對(duì)任n∈N^*恒成立．
故答案為②③．
分析：命題①先求出在x＞0時(shí)的函數(shù)值域，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步求的函數(shù)在給定定義域內(nèi)的值域；命題②判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；命題③若對(duì)任意n∈N^*恒成立，則，驗(yàn)證是否有f_n（x）=f（f_n-1（x））成立．
點(diǎn)評(píng)：前兩個(gè)命題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基本問(wèn)題，第三個(gè)命題的判斷具有開(kāi)放性，特別是用f_n-1（x）代換f_n（x）中的x易出錯(cuò)，屬于中難度問(wèn)題．