一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,甲、乙、丙三位同學在研究此函數(shù)時分別給出命題:
甲:函數(shù)f(x)的值域為(-1,1);
乙:若x1≠x2則一定有f(x1)≠f(x2);
丙:若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(f1(x)),則fn(x)=
x
1+nx
,對任意的n∈N*恒成立
你認為上述三個命題中正確的個數(shù)有( 。
A、3個B、2個C、1個D、0個
分析:利用奇函數(shù)的定義判斷出f(x)為奇函數(shù),通過對x的分段討論去掉絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),討論x≥0的值域、單調(diào)性判斷出甲、乙說的對利用已知的遞推關(guān)系求出fn(x),判斷出丙的說法不對.
解答:解:∵f(-x)-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù)
f(x)=
x
1+|x|
x
1+x
(x≥0)
x
1-x
(x<0)

x≥0時,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0,1)

∵f(x)為奇函數(shù),
∴當x<0是,f(x)∈(-1,0)
總之,f(x)∈(-1,1)
故甲對
x≥0時,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0,1)
為增函數(shù),
∵f(x)為奇函數(shù)
∴當x<0是,f(x)∈(-1,0)為增函數(shù)
所以f(x在(-1,1)上為增函數(shù)
故乙對
fn(x)=f(f1(x))=f(f(x)=
x
1+|x|
1+|
x
1+|x|
|
=
x
1+2|x|
=
x
1+nx
不恒成立
故丙不對
故選B
點評:通過對自變量分段討論將含絕對值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),解決分段函數(shù)的性質(zhì)問題一般分段討論研究.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出了函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學甲、乙、丙在研究此函數(shù)時分別給出命題:
①函數(shù)f(x)的值域為(-1,1);
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),則fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立.
你認為上述三個命題中正確的個數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學甲、乙、丙在研究此函數(shù)時分別依次對應(yīng)給出下列命題
①函數(shù)f(x)的值域為(-1,1);
②若x1≠x2,則一定有f (x1)≠f (x2);
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立.
你認為上述三個命題中正確的題號是
①②③
①②③

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學在研究此函數(shù)時給出以下命題:
①函數(shù)f(x)的值域為[-1,1];     
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
③對任意的x1,x2∈R,存在x0,使得f(x1)+f(x2)=2f(x0)成立;
④若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立.
你認為上述命題中正確的是
②③
②③
.(請將正確命題的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學甲、乙、丙在研究此函數(shù)時分別給出命題:
①函數(shù)f(x)的值域為(-
1
2
,
1
2
)
;
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立.
你認為上述三個命題中正確的是
 

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