一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別依次對(duì)應(yīng)給出下列命題
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
②若x1≠x2,則一定有f (x1)≠f (x2);
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的題號(hào)是
①②③
①②③
分析:命題①先求出在x>0時(shí)的函數(shù)值域,根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)一步求的函數(shù)在給定定義域內(nèi)的值域;命題②判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù);命題③若fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立,則fn-1(x)
x
1+(n-1)|x|
,驗(yàn)證是否有fn(x)=f(fn-1(x))成立.
解答:解:∵f(-x)=
-x
1+|-x|
=-
x
1+|x|
=-f(x),∴f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),
f(x)=
x
1+|x|
=
x
1+x
=
1
1+
1
x
,∵x>0,∴
1
x
>0
,∴1+
1
x
>1
,∴
1
1+
1
x
<1
,又x>0,∴0<f(x)<1,
又函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以x<0,-1<f(x)<0,所以∈x(-1,1),故命題①正確.
設(shè)x1>x2>0,則 f(x1)-f(x2)=
x1
1+|x1|
-
x2
1+|x2|
=
x1
1+x1
-
x2
1+x2
=
x1-x2
(1+x1)(1+x2)
,
∵x1>x2>0∴
x1-x2
(1+x1)(1+x2)
>0
,所以f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x)在
(-∞,+∞)上位增函數(shù),若x1≠x2,則f(x1)≠f(x2),故命題②正確.
由f2(x)=f(f1(x))=
x
1+|x|
1+|
x
1+|x|
|
=
x
1+\x|
1+
|x|
1+|x|
=
x
1+2|x|

f(fn-1(x))=
x
1+(n-1)|x|
1+|
x
1+(n-1)|x|
|
=
x
1+(n-1)|x|
1+
|x|
1+(n-1)|x|
=
x
1+n|x|

fn(x)=
x
1+n|x|

所以fn(x)=f(fn-1(x)),所以fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任n∈N*恒成立.
故答案為①②③.
點(diǎn)評(píng):前兩個(gè)命題考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基本問題,第三個(gè)命題的判斷具有開放性,特別是用fn-1(x)代換fn(x)中的x易出錯(cuò),屬于中難度問題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,甲、乙、丙三位同學(xué)在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題:
甲:函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
乙:若x1≠x2則一定有f(x1)≠f(x2);
丙:若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(f1(x)),則fn(x)=
x
1+nx
,對(duì)任意的n∈N*恒成立
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)有( 。
A、3個(gè)B、2個(gè)C、1個(gè)D、0個(gè)

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一次研究性課堂上,老師給出了函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),則fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)在研究此函數(shù)時(shí)給出以下命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,1];     
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
③對(duì)任意的x1,x2∈R,存在x0,使得f(x1)+f(x2)=2f(x0)成立;
④若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述命題中正確的是
②③
②③
.(請(qǐng)將正確命題的序號(hào)都填上)

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一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)?span id="5yoty1c" class="MathJye">(-
1
2
,
1
2
);
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的是
 

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