【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn)D在橢圓上,DF2⊥F1F2 , △F1F2D的面積為2 ,離心率e= ,拋物線C:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線l經(jīng)過D點(diǎn).
(1)求橢圓E與拋物線C的方程;
(2)過直線l上的動(dòng)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,直線AB交橢圓于M,N兩點(diǎn),當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O落在以MN為直徑的圓外時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意可得F1(0,c),F(xiàn)2(0,﹣c),
c2=a2﹣b2,DF2⊥F1F2,令x=c,可得y=± ,
可得|DF2|= ,
△F1F2D的面積為S= |F1F2||DF2|= 2c =2 ,①
將e= 代入①解得b=2,
由e= ,可得e2=1﹣ = ,可得a=2 ,c=2,
即有橢圓E的方程為 =1;
由D的縱坐標(biāo)為﹣2,拋物線的準(zhǔn)線方程為y=﹣2,
即有拋物線C的方程為x2=8y;
(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),
由y= x2,可得y′= x,
PA:y﹣y1= x1(x﹣x1),將P(t,﹣2)代入可得﹣2﹣y1= x1(t﹣x1),
以及y1= x12,可得y1= tx1+2,
同理可得y2= tx2+2,
即有直線AB的方程為y= tx+2,
將直線AB的方程代入橢圓方程,可得(32+t2)x2+16tx﹣64=0,
判別式為△=256t2+256(32+t2)>0,
x3+x4=﹣ ,x3x4= ,
即有 =x3x4+y3y4=(1+ )x3x4+ (x3+x4)+4
= = ﹣8,
由點(diǎn)O在圓外,可得 >0,
即為 ﹣8>0,解得﹣2 <t<2 .
【解析】(1)求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),及|DF2|= ,運(yùn)用三角形的面積公式和離心率公式,可得a,b,進(jìn)而得到橢圓的方程;求得拋物線的準(zhǔn)線方程,可得拋物線的方程;(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(x3 , y3),N(x4 , y4),求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出切線PA,PB的方程,進(jìn)而得到直線AB的方程,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和點(diǎn)在圓外,可得數(shù)量積大于0,解不等式即可得到所求范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為研究“在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率的和”這個(gè)課題,我們可以分三步進(jìn)行研究:(I)取特殊事件進(jìn)行研究;(Ⅱ)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;(Ⅲ)試證明你得到的結(jié)論。現(xiàn)在,請(qǐng)你完成:
(1)拋擲硬幣4次,設(shè)分別表示正面向上次數(shù)為0次,1次,2次,3次,4次的概率,求 (用分?jǐn)?shù)表示),并求;
(2)拋擲一顆骰子三次,設(shè)分別表示向上一面點(diǎn)數(shù)是3恰好出現(xiàn)0次,1次,2次,3次的概率,求 (用分?jǐn)?shù)表示),并求;
(3)由(1)、(2)寫出結(jié)論,并對(duì)得到的結(jié)論給予解釋或給予證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面EDB;
(2)求銳二面角C﹣PB﹣D的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在等腰梯形中, .把沿折起,使得,得到四棱錐.如圖2所示.
(1)求證:面面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是,求實(shí)數(shù)與的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】規(guī)定記號(hào)“*”表示一種運(yùn)算,a*b=a2+ab,設(shè)函數(shù)f(x)=x*2,且關(guān)于x的方程f(x)=ln|x+1|(x≠﹣1)恰有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1 , x2 , x3 , x4 , 則x1+x2+x3+x4= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí), 在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線過點(diǎn).
① 求實(shí)數(shù)的值;
② 設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),試比較與的大。
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),(),求證:.
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