Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

x2

2e2

+a（其中a∈R，無理數(shù)e=2.71828…）．當x=e時，函數(shù)f（x）有極大值

1

2

．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）任取x₁，x₂∈[e，e²]，證明：|f（x₁）-f（x₂）|＜3．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）將x=e代入函數(shù)的表達式求出a的值即可；（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）問題轉(zhuǎn)化為證明|f（x）_max-f（x）_min|＜3即可．

解答： 解：（1）由題知f（e）=lne-

e2

2e2

+a=

1

2

，解得a=0；
（2）由題可知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
又f′（x）=

1

x

-

x

e2

=

e2-x2

e2x

=

(e+x)(e-x)

e2x

，
由

(e+x)(e-x)

e2x

＞0得0＜x＜e；

(e+x)(e-x)

e2x

＜0得x＞e；
故函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，e），單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）；
（3）因為f（x）=lnx-

x2

2e2

，由（1）知函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞），
故f（x）在[e，e²]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（e）=lne-

e2

2e2

=1-

1

2

=

1

2

；
f（x）_min=f（e²）=lne²-

e4

2e2

=2-

e2

2

，
∴f（x）_max-f（x）_min=

1

2

-（2-

e2

2

）=

e2-3

2

，
∴|f（x）_max-f（x）_min|=

e2-3

2

＜3①，
依題意任取x₁，x₂∈[e，e²]，欲證明|f（x₁）-f（x₂）|＜3，
只需要證明∴|f（x）_max-f（x）_min|＜3即可，
由①可知此式成立，所以原命題得證．

點評：本題考查了導數(shù)的應用，考查了函數(shù)的單調(diào)性，絕對值不等式的證明，本題屬于中檔題．