Question

15．二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（4）=3．
（1）求f（x）的解析式；   
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，3a+1]上單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，得出函數(shù)f（x）的對稱軸和頂點坐標(biāo)，設(shè)出f（x）解析式求出a的值即可；   
（2）根據(jù)二次函數(shù)在對稱軸的同側(cè)單調(diào)性相同，得出關(guān)于a的不等式，求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=$\frac{0+4}{2}$=2，
頂點坐標(biāo)為（2，1）；
設(shè)函數(shù)f（x）=a（x-2）²+1，
則f（0）=a×（-2）²+1=3，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2）²+1；   
（2）二次函數(shù)f（x）的對稱軸是x=2，
在對稱軸的同側(cè)，f（x）單調(diào)性相同，
當(dāng)f（x）在區(qū)間[2a，3a+1]上單調(diào)時，
2a≥2或3a+1≤2，
解得a≥1或a≤$\frac{1}{3}$，
所以a的取值范圍是a≤$\frac{1}{3}$或a≥1．

點評 本題考查了求二次函數(shù)的解析式與應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題．