Question

如圖，某新建小區(qū)有一片邊長為1（單位：百米）的正方形剩余地塊ABCD，中間部分MNK是一片池塘，池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)的圖象，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段．為了美化該地塊，計(jì)劃修一條穿越該地塊的直路（寬度不計(jì)），直路l與曲線段MN相切（切點(diǎn)記為P），并把該地塊分為兩部分．記點(diǎn)P到邊AD距離為t，f（t）表示該地塊在直路左下部分的面積．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面積S=f（t）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，寫出經(jīng)過P（t，）的切線方程并得到切線在兩坐標(biāo)軸上的截距，然后根據(jù)兩截距與1的關(guān)系對t分類，求出t在不同范圍內(nèi)的切線左下方的面積，則分段函數(shù)的解析式可求；
（2）直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性求各區(qū)間段內(nèi)函數(shù)的最值，然后各段內(nèi)最大值的最大者．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125604426209730/SYS201310251256044262097017_DA/2.png">，所以，又P（t，），
所以過點(diǎn)P的切線方程為，即，
令x=0，得，令y=0，得x=2t．
所以切線與x軸交點(diǎn)E（2t，0），切線與y軸交點(diǎn)．
①當(dāng)，即時(shí)，切線左下方的區(qū)域?yàn)橐恢苯侨�角形�?br />所以；
②當(dāng)，即時(shí)，切線左下方的區(qū)域?yàn)橐恢苯翘菪危?br />；
③當(dāng)，即時(shí)，切線左下方的區(qū)域?yàn)橐恢苯翘菪危?br />所以．
綜上．
（2）當(dāng)時(shí)，=，
當(dāng)時(shí)，=，
所以．
所以面積S=f（t）的最大值為．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，需要注意的是分段函數(shù)的最值要分段求，屬中檔題．