如圖,某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位:百米)的正方形剩余地塊ABCD,中間部分MNK是一片池塘,池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式的圖象,另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段.為了美化該地塊,計劃修一條穿越該地塊的直路(寬度不計),直路l與曲線段MN相切(切點記為P),并把該地塊分為兩部分.記點P到邊AD距離為t,f(t)表示該地塊在直路左下部分的面積.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面積S=f(t)的最大值.

解:(1)因為,所以,又P(t,),
所以過點P的切線方程為,即,
令x=0,得,令y=0,得x=2t.
所以切線與x軸交點E(2t,0),切線與y軸交點
①當,即時,切線左下方的區(qū)域為一直角三角形,
所以;
②當,即時,切線左下方的區(qū)域為一直角梯形,
;
③當,即時,切線左下方的區(qū)域為一直角梯形,
所以
綜上
(2)當時,=,
時,=
所以
所以面積S=f(t)的最大值為
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),寫出經(jīng)過P(t,)的切線方程并得到切線在兩坐標軸上的截距,然后根據(jù)兩截距與1的關(guān)系對t分類,求出t在不同范圍內(nèi)的切線左下方的面積,則分段函數(shù)的解析式可求;
(2)直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性求各區(qū)間段內(nèi)函數(shù)的最值,然后各段內(nèi)最大值的最大者.
點評:本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值,需要注意的是分段函數(shù)的最值要分段求,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•徐州模擬)如圖,某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位:百米)的正方形剩余地塊ABCD,中間部分MNK是一片池塘,池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)y=
2
9x
(
1
3
≤x≤
2
3
)
的圖象,另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段.為了美化該地塊,計劃修一條穿越該地塊的直路(寬度不計),直路l與曲線段MN相切(切點記為P),并把該地塊分為兩部分.記點P到邊AD距離為t,f(t)表示該地塊在直路左下部分的面積.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面積S=f(t)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇州市張家港外國語學(xué)校高二(上)周日數(shù)學(xué)試卷11(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位:百米)的正方形剩余地塊ABCD,中間部分MNK是一片池塘,池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)的圖象,另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段.為了美化該地塊,計劃修一條穿越該地塊的直路(寬度不計),直路l與曲線段MN相切(切點記為P),并把該地塊分為兩部分.記點P到邊AD距離為t,f(t)表示該地塊在直路左下部分的面積.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面積S=f(t)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省徐州市高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位:百米)的正方形剩余地塊ABCD,中間部分MNK是一片池塘,池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)的圖象,另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段.為了美化該地塊,計劃修一條穿越該地塊的直路(寬度不計),直路l與曲線段MN相切(切點記為P),并把該地塊分為兩部分.記點P到邊AD距離為t,f(t)表示該地塊在直路左下部分的面積.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面積S=f(t)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分16分)

如圖,某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位:百米)的正方形剩余地塊ABCD,中間部分MNK是一片池塘,池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)的圖象,另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段。為了美化該地塊,計劃修一條穿越該地塊的直路(寬度不計),直路與曲線段MN相切(切點記為P),并把該地塊分為兩部分。記點P到邊AD距離為,表示該地塊在直路左下部分的面積。

(1)求的解析式;

(2)求面積的最大值。

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