【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+2﹣2an+1+an=0(n∈N*),a2=4,其前7項和為42,設(shè)數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn滿足b1=a1﹣1,S30﹣(310+1)S20+310S10=0.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)令cn=1+log3 ,dn= + ,求證:數(shù)列{dn}的前n項和Tn

【答案】
(1)解:∵數(shù)列{an}滿足an+2﹣2an+1+an=0(a∈N*),∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d.

∵a2=4,其前7項和為42,∴a1+d=4,7a1+ d=42,

解得a1=3,d=1.∴an=3+(n﹣1)=n+2.

設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,b1=a1﹣1=2,

S30﹣(310+1)S20+310S10=0.

=310=q10,解得q=3.

∴bn=2×3n1


(2)證明:cn=1+log3 =n,

dn= + = =2+2 ,

∴數(shù)列{dn}的前n項和Tn=2n+2 + +…+

=2n+3﹣2 ,

可得:數(shù)列{Tn}是單調(diào)遞增數(shù)列,∴Tn≥T1=5﹣2× =


【解析】(1)由數(shù)列{an}滿足an+2﹣2an+1+an=0(a∈N*),可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出an . 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,b1=a1﹣1=2,S30﹣(310+1)S20+310S10=0.可得 =310=q10 , 解得q,利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.(2)cn=n,dn= =2+2 ,利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.

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B.若E,F(xiàn),G,H分別為各邊中點,則四邊形EFGH為平行四邊形
C.若E,F(xiàn),G,H分別為各邊中點且AC=BD,則四邊形EFGH為矩形
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