Question

求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點P(

1

3

，

1

3

)，Q(0，-

1

2

)；
（2）經(jīng)過點（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36具有共同的焦點．

Answer 1

分析：（1）解法1：利用待定系數(shù)法，分類討論，解方程組，可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
解法2：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），解方程組，可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出與橢圓9x²+4y²=36具有共同的焦點的橢圓方程，將（2，-3）代入，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）解法1：①當(dāng)所求橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，依題意應(yīng)有

( 1 3 )2 a2 + ( 1 3 )2 b2 =1 (- 1 2 )2 b2 =1

，解得

a2= 1 5 b2= 1 4

，因為a＞b從而方程組無解；
②當(dāng)所求橢圓的焦點在y軸上時，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，依題意應(yīng)有

( 1 3 )2 a2 + ( 1 3 )2 b2 =1 (- 1 2 )2 a2 =1

，解得

a2= 1 4 b2= 1 5

，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

1 4

+

x2

1 5

=1．
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

1 4

+

x2

1 5

=1．
解法2：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），依題意得

1 9 m+ 1 9 n=1 1 4 n=1

，解得

m=5 n=4

，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

1 4

+

x2

1 5

=1．
（2）∵橢圓9x²+4y²=36的焦點坐標(biāo)為(0，±

5

)，從而可設(shè)所求橢圓的方程為

x2

λ

+

y2

λ+5

=1(λ＞0)，
又∵經(jīng)過點（2，-3），從而得

4

λ

+

9

λ+5

=1，解得λ=10或λ=-2（舍去），
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

10

+

y2

15

=1．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查待定系數(shù)法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．