求滿足下列條件的橢圓的標準方程:
(1)經(jīng)過點(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有公共焦點;
(2)經(jīng)過點A(2,
2
)和點B(
6
,1).
分析:(1)由橢圓9x2+4y2=36的焦點為F(0,±
5
),設所求橢圓的方程為
x2
a2-5
+
y2
a2
=1
,把點(2,-3)代入,得
4
a2-5
+
9
a2
=1
,由此能求出橢圓方程.
(2)設所求的橢圓方程為mx2+ny2=1,(m>0,n>0,m≠n),由橢圓經(jīng)過點A(2,
2
)和點B(
6
,1),知
4m+2n=1
6m+n=1
,由此能求出橢圓方程.
解答:解:(1)∵橢圓9x2+4y2=36的焦點為F(0,±
5
),
∴設所求橢圓的方程為
x2
a2-5
+
y2
a2
=1

把點(2,-3)代入,得
4
a2-5
+
9
a2
=1
,
整理,得a4-18a2+45=0,
解得a2=15,或a2=3(舍).
∴所求的橢圓方程為
x2
10
+
y2
15
=1

(2)設所求的橢圓方程為mx2+ny2=1,(m>0,n>0,m≠n)
∵橢圓經(jīng)過點A(2,
2
)和點B(
6
,1),
4m+2n=1
6m+n=1
,
解得m=
1
8
,n=
1
4
,
∴所求的橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1
點評:本題考查橢圓方程的求法,是基礎題.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
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求滿足下列條件的橢圓的標準方程.
(1)焦點在坐標軸上,且經(jīng)過兩點P(
1
3
,
1
3
),Q(0,-
1
2
)

(2)經(jīng)過點(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36具有共同的焦點.

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6
,1)
P2(-
3
,-
2
)

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