【題目】對(duì)于函數(shù),有下列4個(gè)命題:①任取,都有恒成立;②,對(duì)于一切恒成立;③函數(shù)3個(gè)零點(diǎn);④對(duì)任意,不等式恒成立.則其中所有真命題的序號(hào)是______.

【答案】①③④

【解析】

因?yàn)?/span>,定義域?yàn)?/span>,以長(zhǎng)度為變化區(qū)間的正弦類型的曲線,且當(dāng)時(shí),后面每個(gè)周期都是前一個(gè)周期振幅的,根據(jù)相應(yīng)性質(zhì)判斷命題即可求得答案.

對(duì)于①,如圖:

任取

當(dāng),

當(dāng),,

,,恒成立

故①正確.

對(duì)于②,

,

故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③,的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,分別畫出的圖像

如圖:

圖像由三個(gè)交點(diǎn).

的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為:.

故③正確.

對(duì)于④,設(shè),

,

,

可得:

當(dāng)時(shí),,,,

若任意,不等式恒成立,

,可得

求證:當(dāng),,化簡(jiǎn)可得:

設(shè)函數(shù),則

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,可得

即:

綜上所述,對(duì)任意,不等式恒成立.

故④正確.

故答案為:①③④.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù),.

1)若,當(dāng)時(shí),解關(guān)于的不等式;

2)證明:有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

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【題目】已知圓,直線,動(dòng)圓P與圓M相外切,且與直線l相切.設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E.

1)求E的方程;

2)若點(diǎn)A,BE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求證:直線AB恒過定點(diǎn).

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【題目】汕頭市有一塊如圖所示的海岸,為岸邊,岸邊形成角,現(xiàn)擬在此海岸用圍網(wǎng)建一個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng),現(xiàn)有以下兩個(gè)方案:

方案l:在岸邊,上分別取點(diǎn),,用長(zhǎng)度為的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形為圍網(wǎng)).

方案2:在的平分線上取一點(diǎn),再從岸邊,上分別取點(diǎn),,使得,用長(zhǎng)度為的圍網(wǎng)依托岸邊圍成四邊形,為圍網(wǎng)).

記三角形的面積為,四邊形的面積為. 請(qǐng)分別計(jì)算,的最大值,并比較哪個(gè)方案好.

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【題目】在極坐標(biāo)系中,已知曲線和曲線,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)若點(diǎn)是曲線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作線段的垂線交曲線于點(diǎn),求線段長(zhǎng)度的最小值.

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【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度,新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科,按照等級(jí)賦分計(jì)入高考成績(jī),等級(jí)賦分規(guī)則如下:從2021年夏季高考開始,高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級(jí)考試科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為五個(gè)等級(jí),確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為,,,,等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)分,等級(jí)轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表:

等級(jí)

比例

賦分區(qū)間

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計(jì)算:

其中,分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分,分別表示等級(jí)分區(qū)間的最低分和最高分,表示原始分,表示轉(zhuǎn)換分,當(dāng)原始分為,時(shí),等級(jí)分分別為、

假設(shè)小南的化學(xué)考試成績(jī)信息如下表:

考生科目

考試成績(jī)

成績(jī)等級(jí)

原始分區(qū)間

等級(jí)分區(qū)間

化學(xué)

75分

等級(jí)

設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績(jī)?yōu)?/span>,根據(jù)公式得:

所以(四舍五入取整),小南最終化學(xué)成績(jī)?yōu)?7分.

已知某年級(jí)學(xué)生有100人選了化學(xué),以半期考試成績(jī)?yōu)樵汲煽?jī)轉(zhuǎn)換本年級(jí)的化學(xué)等級(jí)成績(jī),其中化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表:

成績(jī)

95

93

91

90

88

87

85

人數(shù)

1

2

3

2

3

2

2

(1)從化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生中任取2名,求恰好有1名同學(xué)的等級(jí)成績(jī)不小于96分的概率;

(2)從化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生中任取5名,設(shè)5名學(xué)生中等級(jí)成績(jī)不小于96分人數(shù)為,求的分布列和期望.

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【題目】在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.請(qǐng)問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?(

A.B.C.D.

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【題目】已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表,第一行為1,第二行為35,第三行為7,911,第四行為13,1517,19,如圖所示,在寶塔形數(shù)表中位于第行,第列的數(shù)記為,比如,,若,則

A.64B.65C.71D.72

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(Ⅰ)求函數(shù)的極值;

(Ⅱ)若實(shí)數(shù)為整數(shù),且對(duì)任意的時(shí),都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.

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