【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，當時，解關(guān)于的不等式；

（2）證明：有且僅有2個零點.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先由導數(shù)的知識判斷出在上單調(diào)遞增，再由不等式得，解之即可；（2）由（1）可知函數(shù)在上沒有零點，

當時，令，則，易知，則在上單調(diào)遞增，再根據(jù)、得出，使得，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

然后由、、并結(jié)合函數(shù)的零點存在性定理可得在，上分別有一個零點.

（1）當時，.

故在上單調(diào)遞增，∴不等式等價于解得.

故關(guān)于的不等式的解集為.

（2）證明：由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.

∴函數(shù)在上沒有零點.

設(shè)，，

當時，，，∴.∴在上單調(diào)遞增.

易知在上單調(diào)遞增，且，.

故，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又因為，，.

所以在，上分別有一個零點.

綜上所述：有且僅有2個零點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E為線段AB上一點，且AE︰EB＝7︰2，點F、G分別為線段PA、PD的中點．

（1）求證：PE⊥平面ABCD；

（2）若平面EFG將四棱錐P－ABCD分成左右兩部分，求這兩部分的體積之比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝cos（2x）+2sin（）sin（x）．

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)y＝f（x）的對稱軸方程，并求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），是的導函數(shù).

（Ⅰ）當時，求證；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】通過隨機詢問100名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下列聯(lián)表：

（1）能否有的把握認為是否愛好該項運動與性別有關(guān)？請說明理由．

（2）利用分層抽樣的方法從以上愛好該項運動的大學生中抽取6人組建“運動達人社”，現(xiàn)從“運動達人社”中選派2人參加某項校際挑戰(zhàn)賽，求選出的2人中恰有1名女大學生的概率．

男

女

總計

愛好

40

20

60

不愛好

15

25

40

總計

55

45

100

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，F1（﹣2，0），F2（2，0）是橢圓C：的兩個焦點，M是橢圓C上的一點，當MF1⊥F1F2時，有|MF2|＝3|MF1|．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點P（0，3）作直線l與軌跡C交于不同兩點A，B，使△OAB的面積為（其中O為坐標原點），問同樣的直線l共有幾條？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動．活動規(guī)則如下：消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券.例如：消費218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．

（1）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率；

（2）若某位顧客恰好消費280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為（元）．求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，有下列4個命題：①任取，都有恒成立；②，對于一切恒成立；③函數(shù)有3個零點；④對任意，不等式恒成立.則其中所有真命題的序號是______.

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