Question

f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）的圖象是經(jīng)過點（3，-6），頂點為（1，2）的拋物線的一部分，
（1）求f（x）的解析式；
（2）畫出其圖象．并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）由x≥0時f（x）的圖象是頂點為（1，2）的拋物線，可設(shè)f（x）=a（x-1）²+2，圖象過（3，-6）點，代入可求a的值，即得f（x）的解析式；由f（x）為奇函數(shù)，求出x＜0時f（x）的解析式．
（2）畫出函數(shù)圖象，從左向右圖象上升是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間；圖象下降是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間．

解答：（1）∵x≥0時f（x）的圖象是頂點為（1，2）的拋物線，∴設(shè)f（x）=a（x-1）²+2，
又f（x）的圖象過（3，-6）點，∴a（3-1）²+2=-6，∴a=-2；
即f（x）=-2（x-1）²+2．
當(dāng)x＜0時，-x＞0，∵f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）=-f（-x）=2（-x-1）²-2=2（x+1）²-2，
∴f（x）=

-2(x-1)2+2(x≥0) 2(x+1)2-2(x＜0)

；
（2）畫出函數(shù)圖象，如圖：；
單調(diào)增區(qū)間是[-1，1]，單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1]，[1，+∞）．

點評：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，以及利用圖象判定函數(shù)的增減性的知識，是基礎(chǔ)題．