已知f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0},且f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=-x2+bx+c,若f(1)=f(3),f(2)=2
(1)求b,c的值;
(2)求f(x)在x<0時的表達(dá)式;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=ax,(a∈R)有解,求a的取值范圍.
分析:(1)由題意知,函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),從而求b,c的值;
(2)設(shè)x<0,則-x>0,再利用x>0時,f(x)=-x2+bx+c,求得(-x)=-x2-4x-2,利用f(x)是奇函數(shù),可得函數(shù)的解析式;
(3)只需-x2+4x-2=ax在(0,+∞)上有解,利用分類參數(shù)法求解.
解答:解:(1)由f(1)=f(3),f(2)=2知,函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),從而有
b
2
=2
-4c-b2
-4
=2
,∴
b=4
c=-2
;
(2)設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=-x2-4x-2,∵f(x)是奇函數(shù),∴-f(x)=-x2-4x-2,∴f(x)=x2+4x+2(x<0);
(3)由題意,只需-x2+4x-2=ax在(0,+∞)上有解,∴a=-x-
2
x
+4
≤-2
2
+4
,即a的取值范圍是(-∞,-2
2
+4]
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的解析式的求解,考查方程有解問題,考查分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍.
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m>
1
2
m>
1
2

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(1)求b,c的值;及f(x)在x>0時的表達(dá)式;
(2)求f(x)在x<0時的表達(dá)式;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=ax(a∈R)有解,求a的取值范圍.

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12
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