【題目】如圖,四棱錐中, ,且平面, 為棱的中點(diǎn).
(1)求證: ∥平面;
(2)求證:平面平面;
(3)當(dāng)四面體的體積最大時(shí),判斷直線與直線是否垂直,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析
【解析】試題分析:(1)取線段的中點(diǎn),利用平幾知識(shí)得四邊形是平行四邊形,得,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,(2)先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得.再根據(jù)線面垂直性質(zhì)得,由線面垂直判定定理得平面.即得平面.最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論,(3)先根據(jù)體積公式得時(shí)體積最大.再根據(jù)線面垂直得. 由線面垂直判定定理得平面,即得
試題解析:
(1)證明:取線段的中點(diǎn),連接.
因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn),
所以在中, .
又, ,所以.
所以四邊形是平行四邊形, 所以.
又平面, 平面,所以平面.
(2)因?yàn)?/span>, 為中點(diǎn),所以.
又平面, 平面,所以
又,所以平面.
又,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.
(3).
設(shè),
則四面體的體積 .
當(dāng),即時(shí)體積最大.
又平面, 平面,所以.
因?yàn)?/span>,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左、右焦點(diǎn)分別為, ,且離心率為, 為橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)時(shí), 的面積為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點(diǎn)是橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn),延長(zhǎng)直線, 分別與橢圓交于點(diǎn), ,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,求證: 為定值.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)設(shè)由題,由此求出,可得橢圓的方程;
(2)設(shè), ,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可得;
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時(shí),,
設(shè)直線的方程為,則由消去通過運(yùn)算可得
,同理可得,由此得到直線的斜率為,
直線的斜率為,進(jìn)而可得.
試題解析:(1)設(shè)由題,
解得,則,
橢圓的方程為.
(2)設(shè), ,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè),則,
直線的方程為代入,可得,
, ,則,
直線的斜率為,直線的斜率為,
,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時(shí),,
設(shè)直線的方程為,則由消去可得:
,
又,則,代入上述方程可得
,
,則
,
設(shè)直線的方程為,同理可得,
直線的斜率為,
直線的斜率為,
.
所以,直線與的斜率之積為定值,即.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù), ,在處的切線方程為.
(1)求, ;
(2)若,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練,前三次射擊在靶上的著彈點(diǎn)剛好是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn).
(Ⅰ)第四次射擊時(shí),該運(yùn)動(dòng)員瞄準(zhǔn)區(qū)域射擊(不會(huì)打到外),則此次射擊的著彈點(diǎn)距的距離都超過的概率為多少?(彈孔大小忽略不計(jì))
(Ⅱ) 該運(yùn)動(dòng)員前三次射擊的成績(jī)(環(huán)數(shù))都在區(qū)間內(nèi),調(diào)整一下后,又連打三槍,其成績(jī)(環(huán)數(shù))都在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從這次射擊成績(jī)中隨機(jī)抽取兩次射擊的成績(jī)(記為和)進(jìn)行技術(shù)分析.求事件“”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且直線與的斜率互為相反數(shù),直線與橢圓交于兩點(diǎn)且均不與點(diǎn)重合,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為.證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓的半徑為2,圓心在軸的正半軸上,且與直線相切.
(1)求圓的方程。
(2)在圓上,是否存在點(diǎn),使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),且△的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了配合新冠疫情防控,某市組織了以“停課不停學(xué),成長(zhǎng)不停歇”為主題的“空中課堂”,為了了解一周內(nèi)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)情況,從該市中抽取1000名學(xué)生進(jìn)行調(diào)査,根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)為了估計(jì)從該市任意抽取的3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時(shí)間在[200,300)的概率,特設(shè)計(jì)如下隨機(jī)模擬的方法:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),依次用0,1,2,3,…9的前若干個(gè)數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時(shí)間在[200,300)的同學(xué),剩余的數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時(shí)間不在[200,300)的同學(xué);再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表線上學(xué)習(xí)的情況.
假設(shè)用上述隨機(jī)模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機(jī)數(shù),請(qǐng)根據(jù)這批隨機(jī)數(shù)估計(jì)概率的值;
907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556
438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231
(2)為了進(jìn)一步進(jìn)行調(diào)查,用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽出20名同學(xué),在抽取的20人中,再?gòu)木上學(xué)習(xí)時(shí)間[350,450)(350分鐘至450分鐘之間)的同學(xué)中任意選擇兩名,求這兩名同學(xué)來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),,(其中),則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】如圖:
,,作出函數(shù)圖象如圖所示
,,作出函數(shù)圖象如圖所示
,由有三個(gè)不同的零點(diǎn)
,如圖
令
得
為滿足有三個(gè)零點(diǎn),如圖可得
,
點(diǎn)睛:本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題,先由導(dǎo)數(shù)求出兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,繼而畫出函數(shù)圖像,再由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參量取值范圍,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的兩根問題來求解,本題需要化歸轉(zhuǎn)化,函數(shù)的思想,零點(diǎn)問題等較為綜合,有很大難度。
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足:對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有恒成立,且當(dāng)時(shí),.
(Ⅰ)判定函數(shù)的單調(diào)性,并加以證明;
(Ⅱ)設(shè),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)從小到大分別為,求的取值范圍.
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