【題目】已知函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù),且.
(1)用定義證明:函數(shù)在上是增函數(shù);
(2)若實數(shù)t滿足求實數(shù)t的范圍.
【答案】(1)見解析(2)(0,)
【解析】
(1)由函數(shù)是定義域為(﹣1,1)上的奇函數(shù),求出b=0,從而,利用定義法能證明函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù);
(2)推導(dǎo)出f(2t﹣1)<f(1﹣t),由函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù),列出不等式組,由此能求出實數(shù)t的范圍.
解:(1)∵函數(shù)是定義域為(﹣1,1)上的奇函數(shù),
∴f(0)0,∴b=0,
∴
任取x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,
∴f(x1)﹣f(x2)
,
∵a>0,﹣1<x1<x2<1,
∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,10,10,
∴函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù).
(2)∵f(2t﹣1)+f(t﹣1)<0,∴f(2t﹣1)<﹣f(t﹣1),
∵函數(shù)是定義域為(﹣1,1)上的奇函數(shù),且a>0.
∴f(2t﹣1)<f(1﹣t),
∵函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù),
∴,
解得0<t.
故實數(shù)t的范圍是(0,).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點為極點, 軸正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線.
(1)將曲線上所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的2倍、倍后得到曲線,請寫出直線,和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線經(jīng)過點且與曲線交于點,求的值.
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【題目】已知定義域為的函數(shù)在上有最大值1,設(shè) .
(1)求的值;
(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)有三個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍(為自然對數(shù)的底數(shù)).
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【題目】已知圓上一動點,過點作軸,垂足為點,中點為.
(1)當(dāng)在圓上運動時,求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點的直線與交于兩點,當(dāng)時,求線段的垂直平分線方程.
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【題目】已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點,在區(qū)間的最小值;
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的最小值的表達式;
(3)是否存在同時滿足以下條件:①;②當(dāng)的定義域為時,值域為;若存在,求出m,n的值;若不存在,說明理由.
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【題目】在△ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x+2y+3=0,∠A的平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2),分別求點A和點C的坐標(biāo).
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【題目】己知拋物線的頂點為,與軸的交點為,則直線稱為拋物線的伴隨直線.
(1)求拋物線的伴隨直線的表達式;
(2)已知拋物線的伴隨直線為,且該拋物線與軸有兩個不同的公共點,求的取值范圍.
(3)已知,若拋物線的伴隨直線為,且該拋物線與線段恰有1個公共點,求的取值范圍(直接寫出答案即可)
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【題目】某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃,收集了近個月廣告投入量(單位:萬元)和收益(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表:
月份 | ||||||
廣告投入量 | ||||||
收益 |
他們分別用兩種模型①,②分別進行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值:
(Ⅰ)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個模型?并說明理由;
(Ⅱ)殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),需要剔除:
(ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)后求出(Ⅰ)中所選模型的回歸方程
(ⅱ)若廣告投入量時,該模型收益的預(yù)報值是多少?
附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
,.
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