已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,
(1)求實數(shù)a的值
(2)若關(guān)于x的方程f(2x)=m有三個不同實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.

解:(1)由函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,x=1取得極小值∴f'(1)=0…
∵f'(x)=-x3+2x2+2ax-2
∴f'(1)=
(2)由(1)知,
∴f'(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-1)(x+1)(x-2),…
令f'(x)=0得x=1,x=-1,x=2
x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,2)2(2,+∞)
f'(x)+0-0+0-
f(x)
所以函數(shù)f(x)有極大值,,極小值f(x)的示意圖如圖
因關(guān)于x的方程f(2x)=m有三個不同實數(shù)解,令2x=t(t>0)
即關(guān)于t的方程f(t)=m在t∈(0,+∞)上有三個不同實數(shù)解,即y=f(t)的圖象與直線y=m在t∈(0,+∞)上有三個不同的交點.
而y=f(t)的圖象與y=f(x)的圖象一致.又f(0)=-2由圖可知
分析:(1)由題意可得,x=1取得極小值從而有f'(1)=0,代入可求a
(2)由關(guān)于x的方程f(2x)=m有三個不同實數(shù)解,?關(guān)于t的方程f(t)=m在t∈(0,+∞)上有三個不同實數(shù)解,?y=f(t)的圖象與直線y=m在t∈(0,+∞)上有三個不同的交點
點評:本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)的極值之間的關(guān)系的應(yīng)用,函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a為實常數(shù),已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),且在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)。

(Ⅰ)求常數(shù)的值;

(Ⅱ)設(shè)點P為函數(shù)圖象上任意一點,求點P到直線距離的最小值;

(Ⅲ)若當時,恒成立,求的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年浙江省瑞安中學(xué)高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué) 題型:填空題

.已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上不是單調(diào)函數(shù),則錯誤!不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。的范圍為         

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省杭州高級中學(xué)高三第一次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若關(guān)于x的方程f(2x)=m有三個不同實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若函數(shù)y=log2[f(x)+p]的圖象與坐標軸無交點,求實數(shù)p的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省高三第一次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型:填空題

已知函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上至少存在一個實數(shù)c使f(c)>0,則實數(shù)p的范圍     

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年浙江省高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué) 題型:填空題

.已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上不是單調(diào)函數(shù),則錯誤!不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。的范圍為          

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案