已知函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調遞減,在區(qū)間[1,2]上單調遞增,
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若關于x的方程f(2x)=m有三個不同實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若函數(shù)y=log2[f(x)+p]的圖象與坐標軸無交點,求實數(shù)p的取值范圍.
【答案】分析:(1)由已知中函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調遞減,在區(qū)間[1,2]上單調遞增根據(jù)函數(shù)取零點的條件,可得f’(1)=0,由此構造關于實數(shù)a的方程,解方程即可得到答案.
(2)由(1)中結論,我們可以求出函數(shù)f(x)的解析式及其導函數(shù)的解析式,進而分析出函數(shù)的單調性和極值,再根據(jù)方程f(2x)=m有三個不同實數(shù)解,即f(x)=m有三個不同的正實數(shù)解,求出滿足條件的實數(shù)m的取值范圍;
(3)根據(jù)函數(shù)y=log2[f(x)+p]的圖象與坐標軸無交點,則f(x)+p>0,f(x)+p≠1,構造關于P的不等式組,解不等式組求出實數(shù)p的取值范圍.
解答:解:(1)∵函數(shù)
∴f’(x)=-x3+2x2+2ax-2
依題意,f(x) 在區(qū)間[-1,1]上單調遞減,在[1,2]上單調遞增,
所以f(x)在x=1處有極值,即f’(1)=-1+2+2a-2=0,解出a=,
(2)由(1)得
f’(x)=-x3+2x2+x-2
令t=2x,(t>0)則t=2x為增函數(shù),每個x對應一個t,
而由題意:f(2x)=m有三個不同的實數(shù)解,就是說,關于t的方程f(t)=m在t>0時有三個不同的實數(shù)解.
∵f’(t)=-t3+2t2+t-2=-(t+1)(t-1)(t-2)
令f’(t)≥0以求f(t)的增區(qū)間,得-(t+1)(t-1)(t-2)≥0,保證t>0,求得f(t)的增區(qū)間為1≤t≤2
令f’(t)≤0以求f(t)的減區(qū)間,得-(t+1)(t-1)(t-2)≤0,保證t>0,求得f(t)的減區(qū)間為0<t≤1或t≥2
所以f(t),
在t=1時有極小值,極小值為f(1)=,
在t=2時有極大值,極大值為f(2)=
在t趨向于0時,f(t)趨向于-2.
<-2
f(t)在t>0上的圖象為雙峰形的一半,則要使f(t)=m有三個不同的實數(shù)解,須-<m<
(3)∵函數(shù)y=log2[f(x)+p]的真數(shù)部分為f(x)+p,
∴f(x)+p>0,
要使函數(shù)y=log2[f(x)+p]的圖象與x軸無交點,只有f(x)+p≠1,
由(2)知,f(x)的最大值為f(-1)=-,即f(x)≤-
所以f(x)+p≤p-,要使f(x)+p≠1,只有p-<1,才能滿足題
意,解之得,p<
點評:本題考查的知識點是函數(shù)取極值的條件,函數(shù)與方程的綜合應用,根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,指數(shù)函數(shù)的性質,對數(shù)函數(shù)的性質,是對函數(shù)性質及解答方法比較綜合的考查,熟練掌握基本初等函數(shù)的性質,會使用導數(shù)法求函數(shù)的單調性和極值點是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

a為實常數(shù),已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),且在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)。

(Ⅰ)求常數(shù)的值;

(Ⅱ)設點P為函數(shù)圖象上任意一點,求點P到直線距離的最小值;

(Ⅲ)若當時,恒成立,求的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年浙江省瑞安中學高二下學期期中考試理科數(shù)學 題型:填空題

.已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上不是單調函數(shù),則錯誤!不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。的范圍為         

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年福建省高三第一次月考理科數(shù)學卷 題型:填空題

已知函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上至少存在一個實數(shù)c使f(c)>0,則實數(shù)p的范圍     

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年浙江省高二下學期期中考試理科數(shù)學 題型:填空題

.已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上不是單調函數(shù),則錯誤!不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。的范圍為          

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案