如圖，四邊形中，為正三角形，，，與交于點．將沿邊折起，使點至點，已知與平面所成的角為，且點在平面內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值為，求的大小.

(Ⅰ)由為的中點，可得，又，所以平面 ；
(Ⅱ).

解析試題分析：(Ⅰ)易知為的中點，
則，又，
又，平面，
所以平面   （4分）
(Ⅱ)方法一：以為軸，為軸，過垂直于
平面向上的直線為軸建立如圖所示空間

直角坐標系，則,       （6分）
易知平面的法向量為 （7分）
，設(shè)平面的法向量為
則由得，
解得，，令，則 （9分）
則
解得，，即，即，
又，∴   故.（12分）   
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計算。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，本題利用向量法，簡化了證明過程。折疊問題，要注意折疊前后“變”與“不變”的量。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐中，底面于，，，點是的中點.

（1）求證：側(cè)面平面；
（2）若異面直線與所成的角為，且，
求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形
（1）求證：； （2）求證：；
（3）設(shè)為中點，在邊上找一點，使平面,并求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐Ｐ－ABC中, AB="AC=4," D、E、F分別為PA、PC、BC的中點, BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF.

（Ⅰ）求證：BE⊥平面PAF；
（Ⅱ）求直線AB與平面PAF所成的角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1棱長為8，E、F分別為AD1，CD1中點，G、H分別為棱DA，DC上動點，且EH⊥FG．

（1）求GH長的取值范圍；
（2）當GH取得最小值時，求證：EH與FG共面；并求出此時EH與FG的交點P到直線的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成30o的二面角,如圖二，在二面角中.

(1) 求D、C之間的距離；
(2) 求CD與面ABC所成的角的大小;
(3) 求證：對于AD上任意點H，CH不與面ABD垂直。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，∥,,垂足為，是四棱錐的高。

（Ⅰ）證明：平面 平面；
（Ⅱ）若,60°,求四棱錐的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本題滿分12分)
如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點。

（1）求證：CD⊥AE；
（2）求證：PD⊥面ABE。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知直三棱柱中，△為等腰直角三角形，∠ ＝，且＝，、、分別為、、的中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求三棱錐的體積．

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