【題目】函數(shù)f(x)=alnx+1(a>0).
(1)當(dāng)x>0時(shí),求證:
(2)在區(qū)間(1,e)上f(x)>x恒成立,求實(shí)數(shù)a的范圍.
(3)當(dāng) 時(shí),求證: (n∈N*).

【答案】
(1)證明:設(shè)

,則x=1,即φ(x)在x=1處取到最小值,

則φ(x)≥φ(1)=0,即原結(jié)論成立.


(2)解:由f(x)>x得alnx+1>x

,

,

,

則h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)>h(1)=0

∵h(yuǎn)(x)>0,∴g'(x)>0,即g(x)單調(diào)遞增,則g(x)的最大值為g(e)=e﹣1

所以a的取值范圍為[e﹣1,+∞).


(3)證明:由第一問(wèn)得知 ,則

=

=

=2n﹣

=2n﹣2( )=


【解析】(1)通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值即可證明;(2)由f(x)>x得alnx+1>x,即 ,令 ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最大值即可;(3)由第一問(wèn)得知 ,則 ,然后利用“累加求和”即可證明.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)函數(shù),若的極值點(diǎn),求的值并討論的單調(diào)性;

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(2)設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過(guò)的直線交于一點(diǎn),交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的垂線交于另一點(diǎn),若的切線,求的最小值.

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A.(﹣4,﹣1)
B.(﹣4,0)
C.(0,
D.(﹣4,

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