Question

（本小題共12分）
（普通高中做）
如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（I）求證：AC⊥BC₁；
（II）求證：AC ₁//平面CDB₁；
（III）求異面直線(xiàn) AC₁與 B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

解：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴ AC⊥BC₁………4分
（II）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，∵ D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，∴ DE//AC₁，
∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；………8分
（III）∵ DE//AC₁，∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角，
在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，
∴，
∴異面直線(xiàn)AC₁與B₁C所成角的余弦值.………12分