【題目】已知拋物線的焦點為,若△的三個頂點都在拋物線上,且,則稱該三角形為“核心三角形”.

1)是否存在“核心三角形”,其中兩個頂點的坐標分別為?請說明理由;

2)設“核心三角形”的一邊所在直線的斜率為4,求直線的方程;

3)已知△是“核心三角形”,證明:點的橫坐標小于2.

【答案】1)不存在,理由見解析.(2.(3)證明見解析

【解析】

1)利用求得第三個點的坐標,由此判斷出這樣的“核心三角形”不存在.

2)設出直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,寫出韋達定理,根據(jù)求得點的坐標并代入拋物線方程,由此求得的值,進而求得直線的方程.

3)設出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立,寫出判別式和韋達定理,利用求得點的坐標并代入拋物線方程,

1)由于,即,即

,所以

第三個頂點的坐標為,

但點不在拋物線上,

∴這樣的“核心三角形”不存在.

2)設直線的方程為,與聯(lián)立并化簡得:

,,

,,

由(1)得,即,所以

得:,

代入方程,解得:,∴直線的方程為.

3)設直線的方程為,與聯(lián)立并化簡得:,

∵直線與拋物線相交,∴判別式, 即.

,∴,

,得,即

的坐標為,

又∵點在拋物線上,∴,得,

,即,∴,

∴點的橫坐標.

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