Question

有下列命題：
①函數(shù)y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②若函數(shù)f（x）=e^x，則?x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

；
③若函數(shù)f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（-2）＞f（a+1）；
④若函數(shù)f（x+2014）=x²-2x-1（x∈R），則函數(shù)f（x）的最小值為-2．
其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①令x-2=t，則x=2+t，y=f（t）和y=f（-t）的圖象關(guān)于t=0對(duì)稱，即可判斷①；
②運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算法則，以及基本不等式，即可判斷②；
③由條件先判斷a＞1，a+1＞2，由偶函數(shù)得到f（-2）=f（2），再由單調(diào)性即可得到答案；
④可求出f（x），配方，運(yùn)用二次函數(shù)的最值，即可判斷．

解答： 解：①令x-2=t，則x=2+t，y=f（t）和y=f（-t）的圖象關(guān)于t=0對(duì)稱，
即函數(shù)y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，故①錯(cuò)；
②若函數(shù)f（x）=e^x，則?x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）=e

x1+x2

2

=e

x1

2

•e

x2

2

≤

ex1+ex2

2

=

f(x1)+f(x2)

2

，故②正確；
③若函數(shù)f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a＞1，a+1＞2，
由于f（x）是偶函數(shù)，則f（-2）=f（2），故f（a+1）＞f（2），故③錯(cuò)；
④若函數(shù)f（x+2014）=x²-2x-1（x∈R），則函數(shù)f（x）=（x-2014）²-2（x-2014）-1
=（x-2015）²-2，當(dāng)x=2015時(shí)，f（x）取最小值為-2，故④正確．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假為載體，考查函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、奇偶性和最值等，是一道中檔題．