Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），其中ω＞0．
（1）當A=ω=2，φ=

π

6

時，函數(shù)g（x）=f（x）-m在[0，

π

2

]上有兩個零點，求m的范圍；
（2）當A=1，φ=

π

6

時，若函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

2

，求函數(shù)f（x）的解析式，并求最小正實數(shù)n，使得函數(shù)f（x）的圖象向左平移n個單位所對應的函數(shù)是奇函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，

π

2

]上有兩個交點，數(shù)形結合求得m的范圍．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得y=sin（2x+2n+

π

6

）為奇函數(shù)，可得2n+

π

6

=kπ，k∈z，由此求得n的最小值．

解答： 解：（1）當A=ω=2，φ=

π

6

時，f（x）=2sin（2x+

π

6

），
則由題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，

π

2

]上有兩個交點，
如圖所示：
故m的范圍為[1，2）．
（2）當A=1，φ=

π

6

時，若函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

6

），圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

2

，
可得

2π

ω

=2×

π

2

，ω=2，故f（x）=sin（2x+

π

6

）．
把函數(shù)f（x）的圖象向左平移n個單位所對應的函數(shù)的解析式為
y=sin[2（x+n）+

π

6

]=sin（2x+2n+

π

6

），
再根據(jù)y=sin（2x+2n+

π

6

）為奇函數(shù)，
可得2n+

π

6

=kπ，k∈z，
故n的最小值為

5π

12

．

點評：本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)判斷，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)形結合、轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．