對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù).
①對任意的x∈[0,1],總f(x)≥0;
②當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2成立.
已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=a&•2x-1是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,討論方程g(2x-1)+h(x)=m(m∈R)解的個數(shù)情況.

解:(1)當x∈[0,1]時,總有g(shù)(x)=x2≥0,滿足①,…(1分)
當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,g(x1+x2)=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g(x1)+g(x2),滿足②…(4分)
故函數(shù)g(x)是G函數(shù);
(2)若a<1時,h(0)=a-1<0不滿足①,所以不是G函數(shù);…(5分)
若a≥1時,h(x)在x∈[0,1]上是增函數(shù),則h(x)≥0,滿足①…(6分)
由h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),得,
,…(7分)
因為x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1
所以 x1與x2不同時等于1∴…(9分)
當x1=x2=0時,∴a≤1,…(11分)
綜合上述:a∈{1}…(12分)
(3)根據(jù)(2)知:a=1,方程為4x-2x=m,
得 x∈[0,1]…(14分)
令2x=t∈[1,2],則…(16分)
由圖形可知:當m∈[0,2]時,有一解;
當m∈(-∞,0)∪(2,+∞)時,方程無解.…(18分)
分析:(1)對照定義,分別驗證即可;
(2)由于函數(shù)h(x)是G函數(shù),對照定義分類討論:若a<1時,h(0)=a-1<0不滿足①,所以不是G函數(shù);
若a≥1時,h(x)在x∈[0,1]上是增函數(shù),則h(x)≥0,滿足①,由定義h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),則可化簡為,從而有a≤1,故可確定a的值;
(3)根據(jù)(2)知:a=1,方程為4x-2x=m,利用換元法,根據(jù)二次函數(shù)的圖象可進行討論.
點評:本題的考點是函數(shù)恒成立問題,主要考查新定義,關(guān)鍵是正確理解新定義,同時考查學(xué)生分析解決問題的能力,由一定的難度.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•上海模擬)對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù).
①對任意的x∈[0,1],總f(x)≥0;
②當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2成立.
已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=a&•2x-1是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,討論方程g(2x-1)+h(x)=m(m∈R)解的個數(shù)情況.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù).
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=a•2x-1是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)g(x)是否G函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù)m,使方程g(2x-1)+h(x)=m恰有兩解?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù).
①對任意的x∈[0,1],總f(x)≥0;
②當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2成立.
已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=a&•2x-1是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,討論方程g(2x-1)+h(x)=m(m∈R)解的個數(shù)情況.

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對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù).
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
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(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù)m,使方程g(2x-1)+h(x)=m恰有兩解?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008-2009學(xué)年上海市八校高三(下)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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