對(duì)定義在[0,1]上,并且同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)稱(chēng)為G函數(shù).
①對(duì)任意的x∈[0,1],總f(x)≥0;
②當(dāng)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時(shí),總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2成立.
已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=a&•2x-1是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問(wèn)函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,討論方程g(2x-1)+h(x)=m(m∈R)解的個(gè)數(shù)情況.
【答案】
分析:(1)對(duì)照定義,分別驗(yàn)證即可;
(2)由于函數(shù)h(x)是G函數(shù),對(duì)照定義分類(lèi)討論:若a<1時(shí),h(0)=a-1<0不滿(mǎn)足①,所以不是G函數(shù);
若a≥1時(shí),h(x)在x∈[0,1]上是增函數(shù),則h(x)≥0,滿(mǎn)足①,由定義h(x
1+x
2)≥h(x
1)+h(x
2),則可化簡(jiǎn)為
,從而有a≤1,故可確定a的值;
(3)根據(jù)(2)知:a=1,方程為4
x-2
x=m,利用換元法,根據(jù)二次函數(shù)的圖象可進(jìn)行討論.
解答:解:(1)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),總有g(shù)(x)=x
2≥0,滿(mǎn)足①,…(1分)
當(dāng)x
1≥0,x
2≥0,x
1+x
2≤1時(shí),g(x
1+x
2)=x
12+x
22+2x
1x
2≥x
12+x
22=g(x
1)+g(x
2),滿(mǎn)足②…(4分)
故函數(shù)g(x)是G函數(shù);
(2)若a<1時(shí),h(0)=a-1<0不滿(mǎn)足①,所以不是G函數(shù);…(5分)
若a≥1時(shí),h(x)在x∈[0,1]上是增函數(shù),則h(x)≥0,滿(mǎn)足①…(6分)
由h(x
1+x
2)≥h(x
1)+h(x
2),得
,
即
,…(7分)
因?yàn)閤
1≥0,x
2≥0,x
1+x
2≤1
所以
x
1與x
2不同時(shí)等于1∴
∴
∴
…(9分)
當(dāng)x
1=x
2=0時(shí),
∴a≤1,…(11分)
綜合上述:a∈{1}…(12分)
(3)根據(jù)(2)知:a=1,方程為4
x-2
x=m,
由
得 x∈[0,1]…(14分)
令2
x=t∈[1,2],則
…(16分)
由圖形可知:當(dāng)m∈[0,2]時(shí),有一解;
當(dāng)m∈(-∞,0)∪(2,+∞)時(shí),方程無(wú)解.…(18分)
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題,主要考查新定義,關(guān)鍵是正確理解新定義,同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,由一定的難度.