【題目】設(shè)向量
(1)若與垂直,求的值.
(2)求的最大值.
【答案】(1)2.(2)4.
【解析】
(1)根據(jù)向量垂直得出數(shù)量積為0,列出方程,使用三角函數(shù)恒等變換化簡;
(2)求出()2,利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出()2的最大值;
解:(1)(sinβ﹣2cosβ,4cosβ+8sinβ),
若(),則0,即4cosα(sinβ﹣2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0.
∴4cosαsinβ+4sinαcosβ﹣8cosαcosβ+8sinαsinβ=0,
即sin(α+β)=2cos(α+β),
∴tan(α+β)=2.
(2)(sinβ+cosβ,4cosβ﹣4sinβ),
∴()2=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ﹣4sinβ)2=17﹣30sinβcosβ=17﹣15sin2β.
∴當(dāng)sin2β=﹣1時,()2取得最大值32.
∴||的最大值是4.
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【題目】在一次摸取獎票的活動中,已知中獎的概率為,若票倉中有足夠多的票則下列說法正確的是
A. 若只摸取一張票,則中獎的概率為
B. 若只摸取一張票,則中獎的概率為
C. 若100個人按先后順序每人摸取1張票則一定有2人中獎
D. 若100個人按先后順序每人摸取1張票,則第一個摸票的人中獎概率最大
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【題目】設(shè),動圓C經(jīng)過點,且被y軸截得的弦長為2p,記動圓圓心C的軌跡為E.
Ⅰ求軌跡E的方程;
Ⅱ求證:在軌跡E上存在點A,B,使得為坐標(biāo)原點是以A為直角頂點的等腰直角三角形.
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【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)設(shè),其導(dǎo)函數(shù)為,若的圖象交軸于兩點且,設(shè)線段的中點為,試問是否為的根?說明理由.
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【題目】網(wǎng)絡(luò)直播是一種新興的網(wǎng)絡(luò)社交方式,網(wǎng)絡(luò)直播平臺也成為了一種嶄新的社交媒體.很多人選擇在快手、抖音等網(wǎng)絡(luò)直播平臺上分享自己的生活點滴.2020年的寒假,注定不凡.因為新冠病毒疫情的影響,開學(xué)延遲了,老師們停課不停教,在網(wǎng)絡(luò)上直播授課;同學(xué)們停課不停學(xué),在家上網(wǎng)課.某網(wǎng)絡(luò)社交平臺為了了解網(wǎng)絡(luò)直播在大眾中的熟知度,對15-65歲的人群隨機抽樣調(diào)查,調(diào)查的問題是“你直播過嗎?”其中,回答“直播過”的共有個人.把這個人按照年齡分成5組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中,第一組的頻數(shù)為20.
(1)求 和的值,并根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);
(2)從第1,3,4組中用分層抽樣的方法抽取6人,求第1,3,4組抽取的人數(shù);
(3)在(2)抽取的6人中再隨機抽取2人,求所抽取的2人來自同一個組的概率.
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【題目】已知定點、,直線、相交于點,且它們的斜率之積為,記動點的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)過點的直線與曲線交于、兩點,是否存在定點,使得直線與斜率之積為定值,若存在求出坐標(biāo);若不存在請說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若不等式在上恒成立,求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)恰好有三個零點,求b的值及該函數(shù)的零點.
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【題目】設(shè)是一個非空集合, 是定義在上的一個運算.如果同時滿足下述四個條件:
(1)對于,都有;
(2)對于,都有;
(3)對于,使得;
(4)對于,使得(注:“”同(iii)中的“”).
則稱關(guān)于運算構(gòu)成一個群.現(xiàn)給出下列集合和運算:
①是整數(shù)集合, 為加法;②是奇數(shù)集合, 為乘法;③是平面向量集合, 為數(shù)量積運算;④是非零復(fù)數(shù)集合, 為乘法. 其中關(guān)于運算構(gòu)成群的序號是___________(將你認(rèn)為正確的序號都寫上).
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【題目】已知函數(shù).
()當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程.
()如果函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.
()當(dāng)時,討論函數(shù)零點的個數(shù).
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