Question

已知在函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c圖象上的點(diǎn)P（1，-2）處的切線方程為y=-3x+1．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)有極值，求f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，若f（x）=k在區(qū)間[-3，1]上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由題意可得，解得即可．
（2）利用f′（x）=0，解得或-2．在求出f（-3），f（-2），，f（1），畫出圖象得出k的取值范圍．
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．由函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，可得f′（x）=-3x²-bx+b≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[-2，0]上恒成立．令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值．
解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由題意可得，解得，
經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）∵f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2）=0，解得或-2．
∵f（-3）=-6，f（-2）=-11，=，f（1）=-2．
畫出圖象可知：當(dāng)-11＜k≤-6或時(shí)，f（x）=k在區(qū)間[-3，1]上有兩個(gè)不同的解；
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，∴f′（x）=-3x²-bx+b≥0恒成立，
∴在區(qū)間[-2，0]上恒成立．
令，則≥0，
∴g（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，得g（x）_max=0．
∴b≥0．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、數(shù)形結(jié)合等是解題的關(guān)鍵．