已知在函數(shù)f(x)=mx3-x的圖象上以N(1,n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為
π4

(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)若方程f(x)=a有三個(gè)不同實(shí)根,求a的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式f(x)≤k-2011,對(duì)x∈[-1,3]恒成立?如果存在,請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(I)由題意可得
f(1)=n
f(1)=1
,代入可求m,n
(II)由(I)可求f(x),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而可求函數(shù)的極值,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求
(III)只須求得y=f(x)在[-1,3]上的最大值,由(II)中的極值域區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可,從而可求k的范圍
解答:解:(I)f'(x)=3mx2-1…(2分)
由題意可得
f(1)=n
f(1)=1

m-1=n
3m-1=1

m=
2
3
n=-
1
3
(2分)
(II)f(x)=
2x3
3
-x
,f′(x)=2x2-1
由f′(x)=2x2-1>0可得x>
2
2
或x<-
2
2

由f′(x)=2x2-1<0可得-
2
2
<x<
2
2

∴函數(shù)f(x)在(-∞,-
2
2
),(
2
2
,+∞)單調(diào)遞增,在(-
2
2
2
,2
)單調(diào)遞減(2分)
f(-
2
2
)=
2
3
(-
2
2
)3-(-
2
2
)=-
2
6
+
2
2
=
2
3

f(
2
2
)=
2
3
×(
2
2
)3-
2
2
=
2
6
-
2
2
=-
2
3
(2分)
依題意  a∈(-
2
3
,
2
3
)

(III)只須求得y=f(x)在[-1,3]上的最大值
由(II)可得,f(-
2
2
)=
2
3
,<f(3)=
2
3
×33-3=18-3=15
…(1分)
∴函數(shù)在[-1,3]上的最大值f(3)=15
∴k-2011≥15
∴k≥2026…(1分)
∴kmin=2026…(1分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與函數(shù)的最值,屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.
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已知在函數(shù)f(x)y=
3
sin
πx
R
圖象上,相鄰的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)恰好在圓x2+y2=R2上,則f(x)的最小正周期為( 。
A、1B、2C、3D、4

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(1)求m、n的值;
(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式f(x)≤k-1995對(duì)于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中x∈R,A>0,ω>0,-
π
2
<φ
π
2
)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知在函數(shù)f(X)的圖象上的三點(diǎn)M,N,P的橫坐標(biāo)分別為-1,1,5,求sin∠MNP的值.

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π
2
<φ<
π
2
)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知在函數(shù)f(x)的圖象上的三點(diǎn)M,N,P的橫坐標(biāo)分別為-1,1,5,求sin∠MNP的值.

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