已知在函數(shù)f(x)=mx3-x的圖象上以N(1,n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為
π4

(1)求m、n的值;
(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式f(x)≤k-1995對(duì)于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù),得到切線的斜率等于tan
π
4
.建立等式關(guān)系,求出m的值,再將切點(diǎn)代入曲線方程,求出n的值;
(2)要使得不等式f(x)≤k-1995對(duì)于x∈[-1,3]恒成立,即求k≥[1995+f(x)]max,先求出f′(x)=0的值,再討論滿足f′(x)=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況,來(lái)確定極值,將f(x)的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較,其中最大的一個(gè)就是最大值,即可求出k的最小值.
解答:解:(1)f'(x)=3mx2-1,依題意,得tan
π
4
=f′(1)
,即1=3m-1,m=
2
3

f(x)=
2
3
x3-x
,把N(1,n)代得,得n=f(1)=-
1
3

m=
2
3
,n=-
1
3

(2)令f′(x)=2(x+
2
2
)(x-
2
2
)=0
,則x=±
2
2
,
當(dāng)-1<x<-
2
2
時(shí),f'(x)=2x2-1>0,f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)
當(dāng)-
2
2
<x<
2
2
時(shí),f'(x)=2x2-1<0,f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)
當(dāng)
2
2
<x<1
時(shí),f'(x)=2x2-1>0,f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)處取得極大值
又因此,當(dāng)x∈[-1,3]時(shí),-
2
3
≤f(x)≤15

要使得不等式f(x)≤k-1995對(duì)于x∈[-1,3]恒成立,則k≥15+1995=2010
所以,存在最小的正整數(shù)k=2010,
使得不等式f(x)≤k-1992對(duì)于x∈[-1,3]恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及函數(shù)恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)題知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
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已知在函數(shù)f(x)y=
3
sin
πx
R
圖象上,相鄰的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)恰好在圓x2+y2=R2上,則f(x)的最小正周期為( 。
A、1B、2C、3D、4

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已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中x∈R,A>0,ω>0,-
π
2
<φ
π
2
)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知在函數(shù)f(X)的圖象上的三點(diǎn)M,N,P的橫坐標(biāo)分別為-1,1,5,求sin∠MNP的值.

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已知在函數(shù)f(x)=mx3-x的圖象上以N(1,n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為
π4

(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)若方程f(x)=a有三個(gè)不同實(shí)根,求a的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式f(x)≤k-2011,對(duì)x∈[-1,3]恒成立?如果存在,請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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π
2
<φ<
π
2
)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知在函數(shù)f(x)的圖象上的三點(diǎn)M,N,P的橫坐標(biāo)分別為-1,1,5,求sin∠MNP的值.

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