Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，G，H分別是線段ON，CN的中點(diǎn)．

（1）證明：直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓?：上；

（2）設(shè)直線l：與橢圓?：有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T，求的最大值及取得最大值時(shí)m的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當(dāng)或時(shí)，取得最大值.

【解析】

試題分析：解題思路：（1）由點(diǎn)寫出直線方程，聯(lián)立直線方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)，，驗(yàn)證點(diǎn)滿足橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，常用“設(shè)而不求”的方法，求弦長(zhǎng)，進(jìn)而求所求比值，常用換元法求最值.規(guī)律總結(jié)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般綜合性強(qiáng).一般思路是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，整理得關(guān)于的一元二次方程，常用“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行求解.

試題解析：（1）點(diǎn)，，，，

則直線EG：，直線FH：，

則直線EG與FH的交點(diǎn)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719565844325661/SYS201411171957039590837943_DA/SYS201411171957039590837943_DA.013.png">，故直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓?：上．

（2）聯(lián)立方程組消去y，得，

設(shè)，，則，，

由及得．

，

若直線l過A點(diǎn)時(shí)，，

①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，最大值．

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，

，令，則，

當(dāng)，即，時(shí)，取最大值．

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，取得最大值．

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系.