從一塊圓心角為
2π
3
，半徑為R的扇形鋼板上切割一塊矩形鋼板，請問怎樣設(shè)計切割方案，才能使矩形面積最大？并說明理由．
考點：基本不等式,扇形面積公式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：對甲種裁法分析設(shè)OE=a，EF=b，則得出面積，利用基本不等式求最值的方法求出最大面積；對乙種裁法分析設(shè)∠COB=θ，利用三角函數(shù)表示出長為2Rsin（60°-θ），用正弦定理，表示BC，進(jìn)而表示出面積，比較看哪個面積大即可．
解答： 解：方案一：GF∥ON
設(shè)OE=a，EF=b，S矩形OEFG=OE×EF=ab≤
a2+b2
2
，a2+b2=R2
當(dāng)a=b時，S矩形OEFG的最大值為
R2
2
．


方案二：AB∥MN

設(shè)∠COB=θ，(0＜θ＜
π
3
)AB=2OCsin(
π
3
-θ)=2Rsin(
π
3
-θ)
在△BOC中運(yùn)用正弦定理，
OC
sin∠OBC
=
BC
sin∠BOC
∠OBC=
2π
3
，
R
sin
2π
3
=
BC
sinθ
，BC=
2Rsinθ
3
，
S矩形ABCD=AB×CD=
2Rsinθ
3
2Rsin(
π
3
-θ)，
令y=sinθsin(
π
3
-θ)=-
1
2
[cos(θ+
π
3
-θ)-cos(θ-
π
3
+θ)]=
1
2
cos(2θ-
π
3
)-
1
4
，當(dāng)θ=
π
6
時，ymax=
1
4
，
S矩形OEFG的最大值
R2
3
=
3
R2
3

而
3
R2
3
＞
R2
2
故選方案二才能使矩形面積最大．
點評：考查學(xué)生根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)的能力，求正弦函數(shù)最值的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a，b，c均為正數(shù)，abc=1．求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
a
+
b
+
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知公差d≠0的等差數(shù)列{an}滿足a3+a7=20，a2是a1和a4的等比中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn=2an+
4
anan+1
，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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已知方程x2+（m-3）x+（7-m）=0的兩根都比3大，求m的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+4|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）+3|x+4|≥|a-1|對一切實數(shù)x均成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-
π
3
）+cos2x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

全集U=R，集合A={x|x≥0}，則∁UA=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=
x4-x3+2x2-x+1-sinx
(x2+1)2
的最大值和最小值分別為M和m，則M+m=
 
．

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