Question

已知公差d≠0的等差數(shù)列{a_n}滿足a₃+a₇=20，a₂是a₁和a₄的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=2an+

4

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₃+a₇=20，得2a₁+8d=20，由a₂是a₁和a₄的等比中項(xiàng)，得(a1+d)2=a1(a1+3d)，化簡(jiǎn)后聯(lián)立方程組可解；
（2）b_n=2an+

4

anan+1

=2²ⁿ+

4

2n•2(n+1)

=4n+

1

n

-

1

n+1

，先分組然后利用等比數(shù)列求和公式及裂項(xiàng)相消法可求T_n．

解答： 解：（1）由a₃+a₇=20，得2a₁+8d=20，即a₁+4d=10①，
由a₂是a₁和a₄的等比中項(xiàng)，得(a1+d)2=a1(a1+3d)，化簡(jiǎn)得a₁=d②，
由①②解得a₁=d=2，
∴a_n=2+（n-1）•2=2n；
（2）b_n=2an+

4

anan+1

=2²ⁿ+

4

2n•2(n+1)

=4n+

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（4+1-

1

2

）+（42+

1

2

-

1

3

）+…+（4n+

1

n

-

1

n+1

）
=（4+4²+…+4ⁿ）+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

4(1-4n)

1-4

+1-

1

n+1

=

4

3

(4n-1)+

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．