Question

【題目】圓周上分布著2014個點(diǎn),將其任意染成紅、黃兩色.若從某一點(diǎn)開始,依任一方向繞圓周運(yùn)動到任一位置,所經(jīng)過的點(diǎn)(含自身)紅點(diǎn)個數(shù)恒大于黃點(diǎn)個數(shù),則稱該點(diǎn)為“優(yōu)點(diǎn)”.為確保圓周上至少有一個優(yōu)點(diǎn),求圓周上黃點(diǎn)個數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】671

【解析】

優(yōu)點(diǎn)一定為紅點(diǎn).

首先考慮簡單情形.

當(dāng)圓周上分別有1、2、3、4、5,6、7個點(diǎn)時,若圓周上至少有一個優(yōu)點(diǎn),則圓周上黃點(diǎn)個數(shù)最大值分別為0、0、0、1、1、1、2.

由此,得到一般性結(jié)論：圓周上有個點(diǎn),將其任意染成紅、黃兩色.當(dāng)且僅當(dāng)黃點(diǎn)個數(shù)不大于時,才能保證圓周上至少有一個優(yōu)點(diǎn)存在.

接下來用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.當(dāng)時,圓周上有四個點(diǎn)(一個黃點(diǎn)三個紅點(diǎn)),在三個相連的紅點(diǎn)中取居中的那個,易知,其為優(yōu)點(diǎn).故時命題成立.

假設(shè)當(dāng)時,命題成立,即圓周上有個點(diǎn),分別染成紅、黃兩色,為確保圓周上至少有一個優(yōu)點(diǎn),則黃點(diǎn)個數(shù)不超過.

當(dāng)時,在個黃點(diǎn)中任取一個,記為.在兩旁分別取與最近的紅點(diǎn),分別記為.將此三點(diǎn)從圓周上拿走,則在圓周上只剩下個點(diǎn),且滿足時命題成立的條件.

由歸納假設(shè),知圓周上至少存在一個優(yōu)點(diǎn),記為.再把三點(diǎn)放回原位置.

下面證明：點(diǎn)仍為優(yōu)點(diǎn).

因?yàn)?/span>為紅點(diǎn),所以,點(diǎn)必在弧外.因此,從點(diǎn)出發(fā)到弧()上任一位置,紅點(diǎn)個數(shù)與黃點(diǎn)個數(shù)之差至少大于1,到點(diǎn)時至少大于0.故仍為優(yōu)點(diǎn).

從而,當(dāng)時,命題成立.

另一方面,在個點(diǎn)中,若黃點(diǎn)個數(shù)為,將圓周分成段,將個紅色點(diǎn)放入每一段弧中,每段弧中至多兩個點(diǎn),則每個紅點(diǎn)均不可能為優(yōu)點(diǎn).

因此,圓周上黃點(diǎn)個數(shù)的最大值為.

又,則圓周上黃點(diǎn)個數(shù)的最大值為671.