【題目】已知 .

(1)若上的增函數(shù),求的取值范圍;

(2)若函數(shù)有兩個極值點,判斷函數(shù)零點的個數(shù).

【答案】(1) (2) 三個零點

【解析】

(1) 由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)求導(dǎo),求得函數(shù)最值,進(jìn)而得到結(jié)果;(2)當(dāng)時先對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個極值點,再證,.

(1)由

由題意知恒成立,即,設(shè),

,遞減,時,遞增;

,即,故的取值范圍是.

(2)當(dāng)時,單調(diào),無極值;

當(dāng)時,,

一方面,,且遞減,所以在區(qū)間有一個零點.

另一方面,,設(shè) ,則,從而

遞增,則,即,又遞增,所以

在區(qū)間有一個零點.

因此,當(dāng)各有一個零點,將這兩個零點記為,

,當(dāng),即;當(dāng),即

;當(dāng),即:從而遞增,在

遞減,在遞增;于是是函數(shù)的極大值點,是函數(shù)的極小值點.

下面證明:,

,即,由

,

,則,

①當(dāng),遞減,則,而,故;

②當(dāng),遞減,則,而,故;

一方面,因為,又,且遞增,所以

上有一個零點,即上有一個零點.

另一方面,根據(jù),則有:

,且遞增,故上有一個零點,故

上有一個零點.

,故有三個零點.

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