Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且｜OP｜＝，·＝（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)y＝x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使＋＝
λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)則由得，
由得，即 ………2分
所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181308279352.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以                   ………3分
橢圓C的方程為：；                                ……….4分
（Ⅱ）解法一:由得，
設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立方程組
消去y得：                    ………5分
設(shè),
則                           ………6分
             
∵，∴，
得,于是       ………8分
 ………9分
到直線(xiàn)的距離為
∴，
當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立，的最大值為        ………12分
解法二:由得，
設(shè)則
∴…………①               ………5分
∵，
∴，代入①得，             ………6分
設(shè)直線(xiàn)的方程為         ………7分
橢圓方程得  
，
                          ……….9分
到直線(xiàn)的距離為
∴，                       ………11分
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最大值為                   ………12分

略